Elemenatarne Zadania z Kombinatoryki

mac18 · Post autor: **mac18** » 23 mar 2015, o 18:54

Witam Serdecznie
Mam do zrobienia 140 zadań elementarnych z kombinatoryki, jednak do pierwszych i najważniejszych 36 nie mam niestety odpowiedzi.
Są to zadania dosyć krótkie i podstawowe, zależy mi więc na ich dobrym opanowaniu.
Każde zadanie postaram się zrobić samodzielnie, prosiłbym o pomoc w razie problemów i wyłapanie błędów.

Mam jeszcze pytanie do Pana Moderatora czy takie zabawy są dopuszczalne czy też należy umieścić każde pojedyncze zadanie w odrębnym temacie ?

No to zaczynamy.

1. Iloma sposobami możemy napełnić \(\displaystyle{ 6}\) różnych filiżanek, dysponując dwoma gatunkami zaparzonej herbaty ?

\(\displaystyle{ 2^6}\)

2. Pięć osób ma do dyspozycji \(\displaystyle{ 6}\) rodzajów filiżanek i \(\displaystyle{ 2}\) różne gatunki zaparzonej herbaty. Iloma sposobami mogą się napić ?

No to tak, mamy \(\displaystyle{ 5}\) osób. Każda z nich może wybrać filiżankę na \(\displaystyle{ 6}\) sposobów a następnie wybrać herbatkę na \(\displaystyle{ 2}\) sposoby.

Odpowiedź znaleziona w starych notatkach to:
\(\displaystyle{ 6^{2}*5}\)
jakby \(\displaystyle{ 5}\) osób podchodziło i chciało wypić dwie herbaty i potrzebuje do tego dwóch filiżanek, które można wybrać na \(\displaystyle{ 6}\) sposobów każda.

3. Piotr ma do dyspozycji koperty w \(\displaystyle{ 8}\) kolorach i papier listowy w \(\displaystyle{ 6}\) kolorach. Ile różnych listów może wysłać ?

\(\displaystyle{ 6\cdot8=48}\)

4. Na ile sposobów można wybrać \(\displaystyle{ 3}\)-osobowy samorząd klasowy w klasie \(\displaystyle{ 25}\)- osobowej.

\(\displaystyle{ 25\cdot24\cdot23}\)

5. Na ile sposobów można rozdać w tejże klasie \(\displaystyle{ 3}\) bilety do teatru?[/latex]

Bilety nie są rozróżnialne, tzn. jeśli jaś dostanie dwa i tola dostanie jeden to wychodzi na to samo jakby jaś dostał jeden, tola jeden i jaś jeden.

Wg. mnie \(\displaystyle{ {25 \choose 3}}\)

6. Na ile sposobów można rozdać w tejże klasie \(\displaystyle{ 3}\) bilety do trzech różnych teatrów ?

\(\displaystyle{ 25\cdot\ 24\cdot23}\)

7. Ile reakcji chemicznych uda się przeprowadzić, jeżeli dysponujemy \(\displaystyle{ 5}\) składnikami i łączymy ze sobą po trzy składniki w jednakowych ilościach. Odpowiedz, jeśli kolejność dodawania składników
a) odgrywa rolę
b) nie odgrywa roli

Zacznę od b). Po prostu na ile sposobów możemy wybrać \(\displaystyle{ 3}\) składniki z \(\displaystyle{ 5}\) dostępnych.
\(\displaystyle{ {5 \choose 3}}\)

a)\(\displaystyle{ 5\cdot4\cdot3}\)

8.Alfabet Morse`a składa się z dwóch różnych elementów: kreski i kropki. Ile znaków pisarskich można utworzyć z tych elementów, jeśli każdy znak zajmuje \(\displaystyle{ 5}\) miejsc oznaczonych kreskami lub kropkami?

\(\displaystyle{ 2^5}\)

11.Ile jest kodów czterocyfrowych, które na pierwszym i ostatnim miejscu mają różne cyfry?
\(\displaystyle{ 10^3\cdot9}\)

16. Na ile sposobów można wypełnić kupon tot-lotka (skreślamy \(\displaystyle{ 6}\) z \(\displaystyle{ 49}\) liczb)?
\(\displaystyle{ {49 \choose 6}}\)

18. \(\displaystyle{ 4}\) tomy układamy na półce w sposób losowy. Ile jest takich ustawień?
\(\displaystyle{ 4!}\)

19. Iloma sposobami mogą wejść do wagonu \(\displaystyle{ 4}\) osoby przy założeniu, że wchodzą pojedynczo i tylko tylnym wejściem ?

Chyba też \(\displaystyle{ 4!}\)

20. Sekretarka w biurze napisała \(\displaystyle{ 5}\) listów i zaadresowała \(\displaystyle{ 5}\) kopert. Na ile sposobów mogła powkładać listy do kopert ?

Każdy z \(\displaystyle{ 5}\) listów mogę włożyć do jednej z \(\displaystyle{ 5}\) kopert. Niektóre mogą być puste.
\(\displaystyle{ 5^5}\)

21. Ile liczb większych od \(\displaystyle{ 7}\) milionów, a mniejszych od \(\displaystyle{ 8}\) milionów możemy utworzyć przestawiając cyfry liczby \(\displaystyle{ 3708925}\)?

\(\displaystyle{ 1\cdot6!}\)

22. Ile liczb większych od \(\displaystyle{ 7}\) milionów, możemy utworzyć przestawiając cyfry liczby \(\displaystyle{ 3708925}\)?

\(\displaystyle{ 3\cdot6!}\)

23. Ile liczb będących wielokrotnościami \(\displaystyle{ 5}\) możemy utworzyć, przestawiając cyfry \(\displaystyle{ 102534}\)?

Wydaję mi się, ze wyjątkowo \(\displaystyle{ 0}\) może być na początku.
\(\displaystyle{ 5!\cdot2}\)

26. Do tramwaju składającego się z dwóch wagonów wsiada \(\displaystyle{ 5}\) pasażerów. Na ile sposobów mogą się rozmieścić?

\(\displaystyle{ 2^5}\)

30. Na ile sposobów można przydzielić pięciu robotnikom \(\displaystyle{ 6}\) rodzajów zajęć tak, aby każdy robotnik miał inne zajęcie?

Każdemu robotnikowi przyporządkowuje inne zajęcie. Pierwszemu mogę to zrobić na \(\displaystyle{ 6}\), drugiemu na \(\displaystyle{ 5}\) ... sposobów.

\(\displaystyle{ 6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2}\)

33. Ile odcinków mogę zbudować, łącząc parami \(\displaystyle{ 12}\) punktów należących do okręgu?

\(\displaystyle{ \left| AB\right| = \left| BA\right|}\)
Więc albo \(\displaystyle{ {12 \choose 2}}\), albo \(\displaystyle{ \frac{12\cdot11}{2}}\). Wychodzi chyba to samo.

34. Ile trójkątów można zbudować w oparciu o punkty z poprzedniego zadania ?
\(\displaystyle{ {12 \choose 3}}\)

35. Ile przekątnych ma ośmiokąt wypukły ?

Z jednego punku nie mogę puścić przekątnych do sąsiednich punktów i do siebie samego, więc wydaję mi się, że:
\(\displaystyle{ \frac{8\cdot5}{2}}\)

36. Ile różnych płaszczyzn można poprowadzić w przestrzeni trójwymiarowej przez \(\displaystyle{ 4}\) punkty nie leżące na jednej płaszczyźnie ?

Tu nie czaję kompletnie. Do poprowadzenia płaszczyzny potrzebne są mi \(\displaystyle{ 2}\) czy \(\displaystyle{ 3}\) punkty ?

Jeśli coś jest dobrze to nie ma co sobie zawracać tym głowy. Jest ich mniej niż \(\displaystyle{ 36}\), bo pominiętych byłem pewien.
Pozdrawiam

szachimat · Post autor: **szachimat** » 23 mar 2015, o 19:19

Ad 1 - tak
Ad 2 - nie wiem
Ad 3 - tak
Ad 4 - kolejność jest nieistotna - kombinacje (chyba, że jest jakieś dodatkowe założenie)
Ad 5 - tak
Ad 6 - literówka - zamiast 4 chyba ma być 24
Ad 7 - tak
Ad 8 - tak
Ad 11 - tak
Ad 16 - tak

Pozostałe dopiero będę czytał, bo trochę tego jest.

mac18 · Post autor: **mac18** » 23 mar 2015, o 19:27

Ad.4 Nie jest to zawarte w poleceniu, ale wydawało mi się, że kolejność jest istotna. Gospodarz, Zastępca i skarbnik.
Chociaż może faktycznie ?
\(\displaystyle{ {25 \choose 3}}\) jeśli kolejność nie gra znaczenia.

Ad.6 Tak, literówka, poprawiłem.

szachimat · Post autor: **szachimat** » 23 mar 2015, o 19:34

W czwartym raczej ta druga wersja
Ad 19 - tak
Ad 19 - tak
Ad 20 - nie rozumiem tego, że "Niektóre mogą być puste" (mogła włożyć 5 listów do jednej koperty? nielogiczne)
Ad 21 - tak
Ad 22 - tak
Ad 23 - niezbyt precyzyjna treść i Twoja opcja jest do przyjęcia
Ad 26 - tak
Ad 30 - tak
Ad 33 - tak
Ad 34 - tak
Ad 35 - tak
Ad 36 - 4 po 3 - płaszczyznę wyznaczają w sposób jednoznaczny 3 punkty

mac18 · Post autor: **mac18** » 23 mar 2015, o 19:40

Ad. 20 Haha Trochę mnie poniosło. Jak to powinno być zrobione ?
Pomyślmy, jeden list, jedna koperta \(\displaystyle{ 5!}\) ?

Ad. 36 \(\displaystyle{ {4 \choose 3}}\)

szachimat · Post autor: **szachimat** » 23 mar 2015, o 19:44

Ad 20 - tak jak poprawiłeś

Szach i Mat

mac18 · Post autor: **mac18** » 23 mar 2015, o 19:46

Dzięki Wielkie !
Jeszcze mógłby mi ktoś drugie wytłumaczyć

szachimat · Post autor: **szachimat** » 23 mar 2015, o 20:02

Ad 2 - moja koncepcja:
Jeżeli filiżanki oznaczymy jako: ABCDEF, to można przyjąć oznaczenie "Ah1" jako herbata pierwszego typu w filiżance A.
A zatem pierwsza osoba ma wybór spośród 12 (powiedzmy, że wybrała właśnie Ah1)
Druga osoba nie może już wybrać filiżanki A, a zatem ma wybór spośród 10 (np. wybrała Bh2)

Czyli łącznie: \(\displaystyle{ {12 \choose 1} \cdot {10 \choose 1} \cdot {8 \choose 1} \cdot {6 \choose1} \cdot {4 \choose 1}}\)