losowanie 3 liczb

[malwinka1058]

na ile sposobów mozna wybrać ze zbioru {1,2,3....100} trzy rozne liczby, których suma przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1?

[Michalinho]

Niech \(\displaystyle{ A_k}\) będzie podzbiorem liczb, ze zbioru \(\displaystyle{ {1,2,\ldots, 100}}\), które dają przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 3}\) resztę \(\displaystyle{ k}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ A_0 = \{3,6,\ldots, 99\}}\), \(\displaystyle{ |A_0|=33}\)
\(\displaystyle{ A_1 = \{1,4,\ldots, 100\}}\), \(\displaystyle{ |A_1|=34}\)
\(\displaystyle{ A_2 = \{2,5,\ldots, 98\}}\), \(\displaystyle{ |A_2|=33}\)
Po rozpatrzeniu przypadków wiemy, że jedyne sprzyjające wyniki to:
1) \(\displaystyle{ 2\cdot A_0, A_1}\).
2) \(\displaystyle{ 2\cdot A_1, A_2}\)
3) \(\displaystyle{ 2\cdot A_2, A_0}\)
\(\displaystyle{ |\Omega|=C^3_{100}=161700}\)
\(\displaystyle{ A}\) - wylosowanie trzech liczb ze zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,\ldots, 100\}}\), których suma daje resztę \(\displaystyle{ 1}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\).
Ponieważ kolejność losowania nie ma znaczenia więc liczbę wszystkich możliwości dzielimy przez \(\displaystyle{ 3}\).
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{C^2_{33}\cdot 34 + C^2_{34}\cdot 33 + C^2_{33}\cdot 33}{3\cdot |\Omega|}=
\frac{17952+18513+17424}{3\cdot 161700}=\frac{1633}{14700}\approx 0.11}\)