Prawdopodobieństwo, losowanie kart.

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
bedek12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 22 mar 2015, o 10:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: M.

Prawdopodobieństwo, losowanie kart.

Post autor: bedek12 »

Hej, chciałbym zapytać czy dobrze rozumiem te zadania, i czy wyniki są ok, bo nie jestem pewien czy moce \(\displaystyle{ \textbf{A}}\) są dobrze policzone. Czy pomiędzy \(\displaystyle{ \binom{n}{k}}\) zawsze występuje mnożenie?

1. Z 24 kart, (od 9 do Asa) wylosowano 6. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowano dwie pary?

\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}}\) = \(\displaystyle{ \binom{24}{6}}\) = 134596


\(\displaystyle{ \textbf{A}}\) = \(\displaystyle{ \binom{4}{2}}\) \(\displaystyle{ \binom{6}{1}}\) \(\displaystyle{ \binom{4}{2}}\) \(\displaystyle{ \binom{5}{1}}\) \(\displaystyle{ \binom{4}{1}}\) \(\displaystyle{ \binom{4}{1}}\) \(\displaystyle{ \binom{4}{2}}\) = 103680

\(\displaystyle{ \binom{4}{2}}\) z 4 kart bierzemy dwie na \(\displaystyle{ \binom{6}{1}}\) 6 sposobów (pierwsza para), \(\displaystyle{ \binom{4}{2}}\) z 4 kart bierzemy dwie na \(\displaystyle{ \binom{5}{1}}\) (druga para) już na 5 sposobów, i potem pozostałe jakiekolwiek dwie karty \(\displaystyle{ \binom{4}{1}}\) \(\displaystyle{ \binom{4}{1}}\), już bierzemy je na \(\displaystyle{ \binom{4}{2}}\) sposobów.

P(A)= \(\displaystyle{ \frac{103680}{134596}}\) = 0,77

2.Z 24 kart, od 9 do Asa wylosowano 6, jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowano parę i trójkę?

\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}}\) = \(\displaystyle{ \binom{24}{6}}\) = 134596

\(\displaystyle{ \textbf{A}}\) = \(\displaystyle{ \binom{4}{2}}\) \(\displaystyle{ \binom{6}{1}}\) \(\displaystyle{ \binom{4}{3}}\) \(\displaystyle{ \binom{5}{1}}\) \(\displaystyle{ \binom{4}{1}}\) \(\displaystyle{ \binom{4}{1}}\) = 11520

I znowu bierzemy parę \(\displaystyle{ \binom{4}{2}}\) na \(\displaystyle{ \binom{6}{1}}\) sześć sposobów, potem trójkę \(\displaystyle{ \binom{4}{3}}\), ale już na pięć sposobów \(\displaystyle{ \binom{5}{1}}\), no i ostatnią kartę \(\displaystyle{ \binom{4}{1}}\), na cztery sposoby \(\displaystyle{ \binom{4}{1}}\)

P(A)= \(\displaystyle{ \frac{11520}{134596}}\)= 0,085
Awatar użytkownika
Barbara777
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 316
Rejestracja: 13 maja 2013, o 18:28
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gówniak k. Bukowiny
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 115 razy

Prawdopodobieństwo, losowanie kart.

Post autor: Barbara777 »

Mnoznie jest wtedy, gdy jest "i", np losujemy 2 krole i2 asy. A jesli "lub", to dodawanie.
*

1. Dla mnie zadanie jest sformulowane nieprecyzyjnie. Nie jest powiedziane, czy maja byc dokladnie dwie pary, czy conajmniej dwie, i czy moze byc wiecej kart jednego rodzaju niz 2.
Przy zalozeniu, ze maja byc dokladnie dwie pary i tylko pary (bez trojek i czworek)

Zalozmy na chwile, ze beda to pary z asow i kroli.
Asy mozemy wylosowac na \(\displaystyle{ {4\choose 2}}\) sposobow, krole na tyl samo. Wiec wie pary z asow i kroli mozemy wybrac na \(\displaystyle{ {4\choose 2}{4\choose 2}}\) sposobow.
Wsrod pozostalych wylosowanych dwoch kart nie moze juz byc pary, nie moze tez byc asa i krola. Wybieramy wiec jedna z czterech i jedna z czterech: \(\displaystyle{ {4\choose 1}{4\choose 1}}\), a takich par ROZNYCH kart jest \(\displaystyle{ {4\choose 2}}\) (dwa rodzaje kart wybieramy sposrod czterech: D, W, 10, 9)

Jak sie toto zbierze do kupy, to wyjdzie \(\displaystyle{ {4\choose 2}{4\choose 2}{4\choose 1}{4\choose 1}{4\choose 2}}\)

A teraz trzeba to pomnozyc przez liczbe wyborow 2 z 6 (bo mozemy wybrac nie tylko pary asow i kroli, a dowolnych figur) - \(\displaystyle{ {6\choose 2}}\)

Czyli ostatecznie

\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}={6\choose 2}{4\choose 2}^3{4\choose 1}^2=51840}\)

__________________
Zakladajac, ze par moze byc wiecj niz dwie, i ze moze byc trojka i czworka, mamy analogicznie

\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}={6\choose 2}{4\choose 2}^2{18\choose 2}=82620}\)
szachimat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1674
Rejestracja: 23 sty 2015, o 21:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: lubelskie
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 354 razy

Prawdopodobieństwo, losowanie kart.

Post autor: szachimat »

A zatem znowu potwierdza się fakt, że zadania bywają nieprecyzyjnie sformułowane. W oryginale mamy:
"Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowano dwie pary?", a powinno być:
1) Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowano dokładnie dwie pary, lub
2) Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowano co najmniej dwie pary.

Ponieważ raczej chodzi o przypadek 1, więc potwierdzam rozumowanie i wynik, który przedstawiła Barbara777 (51840 - drugiego nie przeliczałem).

Natomiast w Twoim rozwiązaniu bedek12,w zadaniu pierwszym, w zapisie \(\displaystyle{ {6 \choose 1}}\) i \(\displaystyle{ {5 \choose 1}}\) narzucasz kolejność, jakby układy asy i króle, oraz króle i asy były różnymi układami. Należy wziąć \(\displaystyle{ {6 \choose 2}}\).
ODPOWIEDZ