Równoważność dwóch wozrów z użyciem dwumianu Newtona

[madmathman]

ZADANIE 1
Niech dwa ciągi liczb \(\displaystyle{ F_{m}}\) i \(\displaystyle{ f_{m}}\) spełniają zależność \(\displaystyle{ (1)}\): \(\displaystyle{ F_{m}=\sum^{m}_{j=1}{m \choose j} f_{j}}\) dla \(\displaystyle{ m\in\{1,2,3,...\}}\). Dowieść, że zachodzi wzór \(\displaystyle{ (2)}\): \(\displaystyle{ f_{m}=(-1)^m\sum_{j=1}^{m}(-1)^{j}{m\choose j} F_{j}}\) dla \(\displaystyle{ m\in\{1,2,3,...\}}\) i na odwrót, równości \(\displaystyle{ (2)}\) pociągają za sobą równości \(\displaystyle{ (1)}\).
ZADANIE 2 Uogólnić zadanie \(\displaystyle{ 1}\) w następujący sposób: Jeśli \(\displaystyle{ F_{mn}=\sum^{m}_{j=1}\sum^{n}_{l=1}{m \choose j}{n \choose l} f_{jl}}\), to \(\displaystyle{ f_{mn}=(-1)^{m+n}\sum^{m}_{j=1}\sum^{n}_{l=1}(-1)^{j+l}{m \choose j}{n \choose l} F_{jl}}\)