pewna tożsamość kombinatoryczna

[predictable]

Podczas dowodzenia uogólnionego wzoru włączeń i wyłączeń dochodzę do kroku w którym pozostaje mi udowodnić poniższą tożsamość, aczkolwiek nie mam pomysłu jak. Również nie jestem pewien czy jest ona prawdziwa (wynika ona z mojego rozumowania, sprawdzilem dla malych k - działa)
oto ona:

\(\displaystyle{ \sum_{j=r}^{j=r+k} (-1)^{j-r} {j\choose r}{r+k\choose j}=0}\)
oczywiscie \(\displaystyle{ k,r \in N}\)
Bede wdzieczny za jakakolwiek podpowiedź

[mostostalek]

Próbowałeś może indukcyjnie jakoś?? Z góry mówię, że sam nie podchodziłem do tego problemu.. Taka pierwsza myśl

[fon_nojman]

Proste przekształcenia dają:
\(\displaystyle{ \sum_{j=r}^{j=r+k} (-1)^{j-r} {j\choose r}{r+k\choose j}=0 \Leftrightarrow \sum_{j=r}^{j=r+k} (-1)^{j-r} {k\choose j-r}=0,}\)
a to po prawej stronie jest prawdą.

[predictable]

@fon_nojman
Dziekuje bardzo za odpowiedz!
Co do prawej strony... Akurat chyba jest
Zaraz sprobuje zalapac jak do tego doszedles

@mostolatek
Tak, tylko wczoraj wieczor bylem juz zmeczony, a indkucja to żmudna robota. Rozwiązanie które podał kolega wyżej jest dużo krótsze i prostsze