Zwarta postać sumy
-
- Użytkownik
- Posty: 37
- Rejestracja: 21 gru 2014, o 11:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 12 razy
Zwarta postać sumy
Potrzebuję znaleźć kolejne zwarte postaci sum:
\(\displaystyle{ \sum_{k}^{}= {n \choose k} \frac{1}{k-1}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k}^{}= {n \choose k} \frac{(-1)^{k}}{k-1}}\)
...tym razem jednak profesor nie zawarł żadnej wskazówki, z czego powinienem skorzystać. W przypadku pierwszej sumy mam w ogóle wątpliwości, od jakiego argumentu zaczyna się zliczanie - w końcu dla \(\displaystyle{ k=0}\) mamy \(\displaystyle{ {n \choose 0} \cdot -1}\), a dla \(\displaystyle{ k=1}\) dzielimy przez \(\displaystyle{ 0}\)...
\(\displaystyle{ \sum_{k}^{}= {n \choose k} \frac{1}{k-1}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k}^{}= {n \choose k} \frac{(-1)^{k}}{k-1}}\)
...tym razem jednak profesor nie zawarł żadnej wskazówki, z czego powinienem skorzystać. W przypadku pierwszej sumy mam w ogóle wątpliwości, od jakiego argumentu zaczyna się zliczanie - w końcu dla \(\displaystyle{ k=0}\) mamy \(\displaystyle{ {n \choose 0} \cdot -1}\), a dla \(\displaystyle{ k=1}\) dzielimy przez \(\displaystyle{ 0}\)...
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
- Medea 2
- Użytkownik
- Posty: 2491
- Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 479 razy
Zwarta postać sumy
Wygląda to trochę beznadziejnie. Należy zacząć od ustalenia granic sumowania. Mathematica daje takie wyniki:
Przyjęłam konwencję, że liczymy \(\displaystyle{ \sum_{k=2}^n \dots}\).
Kod: Zaznacz cały
1/2 (-1 + n) n HypergeometricPFQ[{1, 1, 2 - n}, {2, 3}, -1]
n (-1 + EulerGamma + PolyGamma[0, 1 + n])
-
- Użytkownik
- Posty: 22204
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3753 razy
Zwarta postać sumy
To \(\displaystyle{ (x+1)^n}\) bez programu się nie da scałkowaćMedea 2 pisze:Wygląda to trochę beznadziejnie. Należy zacząć od ustalenia granic sumowania. Mathematica daje takie wyniki:
Przyjęłam konwencję, że liczymy \(\displaystyle{ \sum_{k=2}^n \dots}\).Kod: Zaznacz cały
1/2 (-1 + n) n HypergeometricPFQ[{1, 1, 2 - n}, {2, 3}, -1] n (-1 + EulerGamma + PolyGamma[0, 1 + n])
- Medea 2
- Użytkownik
- Posty: 2491
- Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 479 razy
Zwarta postać sumy
Da się, ale tam jest \(\displaystyle{ k-1}\), a nie \(\displaystyle{ k+1}\), jak to poprawić?
\(\displaystyle{ \int (x+1)^n \, \textrm{d}x = \int \sum_{k=0}^n {n \choose k} x^k \, \textrm{d}x = \sum_{k=0}^n {n \choose k}\int x^k \, \textrm{d}x = \sum_{k=0}^n {n \choose k} \frac{x^{k+1}}{k+1} \, \textrm{d}x}\)
\(\displaystyle{ \int (x+1)^n \, \textrm{d}x = \int \sum_{k=0}^n {n \choose k} x^k \, \textrm{d}x = \sum_{k=0}^n {n \choose k}\int x^k \, \textrm{d}x = \sum_{k=0}^n {n \choose k} \frac{x^{k+1}}{k+1} \, \textrm{d}x}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22204
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3753 razy
Zwarta postać sumy
W encyklopedii "Intiegrały i rjady" znalazłem taką sumę:
\(\displaystyle{ \sum_{\substack{k=0\\k\neq m}}^n \frac{(-1)^k}{m-k}\binom{n}{k}=(-1)^n\binom{n}{m}\left(\sum_{k=1}^{n-m}\frac{1}{k}-\sum_{k=1}^m\frac{1}{k}\right)}\)
\(\displaystyle{ \sum_{\substack{k=0\\k\neq m}}^n \frac{(-1)^k}{m-k}\binom{n}{k}=(-1)^n\binom{n}{m}\left(\sum_{k=1}^{n-m}\frac{1}{k}-\sum_{k=1}^m\frac{1}{k}\right)}\)
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Zwarta postać sumy
\(\displaystyle{ \sum \binom{n}{k} \frac{x^k}{k-1}=x\sum\binom{n}{k}\frac{x^{k-1}}{k-1}=\\
\\
=x\sum\binom{n}{k}\int x^{k-2}\dd x=x\int \sum \binom{n}{k}x^{k-2}\dd x=\ldots}\)
\\
=x\sum\binom{n}{k}\int x^{k-2}\dd x=x\int \sum \binom{n}{k}x^{k-2}\dd x=\ldots}\)