Zwarta postać sumy

[krymeer]

Potrzebuję znaleźć kolejne zwarte postaci sum:

\(\displaystyle{ \sum_{k}^{}= {n \choose k} \frac{1}{k-1}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k}^{}= {n \choose k} \frac{(-1)^{k}}{k-1}}\)

...tym razem jednak profesor nie zawarł żadnej wskazówki, z czego powinienem skorzystać. W przypadku pierwszej sumy mam w ogóle wątpliwości, od jakiego argumentu zaczyna się zliczanie - w końcu dla \(\displaystyle{ k=0}\) mamy \(\displaystyle{ {n \choose 0} \cdot -1}\), a dla \(\displaystyle{ k=1}\) dzielimy przez \(\displaystyle{ 0}\)...

[Kartezjusz]

Rozważ wielomian \(\displaystyle{ (x+1)^{n}}\) rozpisz z dwumianu i scałkuj.

[Medea 2]

Wygląda to trochę beznadziejnie. Należy zacząć od ustalenia granic sumowania. Mathematica daje takie wyniki:

Kod: Zaznacz cały

1/2 (-1 + n) n HypergeometricPFQ[{1, 1, 2 - n}, {2, 3}, -1]
n (-1 + EulerGamma + PolyGamma[0, 1 + n])

Przyjęłam konwencję, że liczymy \(\displaystyle{ \sum_{k=2}^n \dots}\).

[a4karo]

Wygląda to trochę beznadziejnie. Należy zacząć od ustalenia granic sumowania. Mathematica daje takie wyniki:

Kod: Zaznacz cały

1/2 (-1 + n) n HypergeometricPFQ[{1, 1, 2 - n}, {2, 3}, -1]
n (-1 + EulerGamma + PolyGamma[0, 1 + n])

Przyjęłam konwencję, że liczymy \(\displaystyle{ \sum_{k=2}^n \dots}\).

To \(\displaystyle{ (x+1)^n}\) bez programu się nie da scałkować

[Medea 2]

Da się, ale tam jest \(\displaystyle{ k-1}\), a nie \(\displaystyle{ k+1}\), jak to poprawić?

\(\displaystyle{ \int (x+1)^n \, \textrm{d}x = \int \sum_{k=0}^n {n \choose k} x^k \, \textrm{d}x = \sum_{k=0}^n {n \choose k}\int x^k \, \textrm{d}x = \sum_{k=0}^n {n \choose k} \frac{x^{k+1}}{k+1} \, \textrm{d}x}\)

[a4karo]

W encyklopedii "Intiegrały i rjady" znalazłem taką sumę:
\(\displaystyle{ \sum_{\substack{k=0\\k\neq m}}^n \frac{(-1)^k}{m-k}\binom{n}{k}=(-1)^n\binom{n}{m}\left(\sum_{k=1}^{n-m}\frac{1}{k}-\sum_{k=1}^m\frac{1}{k}\right)}\)

[yorgin]

\(\displaystyle{ \sum \binom{n}{k} \frac{x^k}{k-1}=x\sum\binom{n}{k}\frac{x^{k-1}}{k-1}=\\
\\
=x\sum\binom{n}{k}\int x^{k-2}\dd x=x\int \sum \binom{n}{k}x^{k-2}\dd x=\ldots}\)

[a4karo]

yorgin, fakt, ale to się wcale fajnie nie całkuje