Pokaż równość - silnia dolna

[krymeer]

Mam udowodnić, że

\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2}\right) ^{\underline{n+1}}= \left( -1 \right) ^{n+1} \frac{1}{2^{2n+1}}n! {2n \choose n}}\), gdzie \(\displaystyle{ C_{n}= \frac{1}{n+1} {2n \choose n}}\).

Lewa strona: \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2}\right) ^{\underline{n+1}}= \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{3}{2} \right) \cdot \left( -\frac{5}{2} \right) \cdot...\cdot \left( \frac{1}{2}-n \right)}\)... aczkolwiek nie bardzo wiem, jak powiązać to z tym \(\displaystyle{ C_{n}}\).

[SlotaWoj]

\(\displaystyle{ C_n}\) jest zawieszone „w próżni”. Czegoś tutaj brakuje.

I czy nie powinno być:

• \(\displaystyle{ \frac{1}{2}^{\underline{n+1}}=\frac{1}{2}\cdot\red{\frac{-1}{2}}\black{\cdot}\frac{-3}{2}\cdot\frac{-5}{2}\cdot\ \dots\ \cdot\left(\frac{1}{2}-n\right)}\)

[krymeer]

Tak, przypadkowo pominąłem ten składmik. A polecenie podałem takie, jak napisano - czy bez tej dodatkowej informacji da się to rozwiązać?

[SlotaWoj]

No to trzeba na razie zostawić „w spokoju” \(\displaystyle{ C_n}\) i udowadniać. Możliwe, że w trakcie wyjdzie coś i to \(\displaystyle{ C_n}\) się przyda.

[Kartezjusz]

Jak mamy uogólnienia silni pomóc może funkcja gamma. Na wikipedii powinno być \(\displaystyle{ \Gamma (n + \frac{1}{2})}\)

[SlotaWoj]

Ja spróbowałbym dowodu indukcyjnego.

[Qń]

\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2}\right) ^{\underline{n+1}}= \left( -1 \right) ^{n+1} \frac{1}{2^{2n+1}}n! {2n \choose n}}\)

W tej wersji to nieprawda - dla \(\displaystyle{ n}\) równego jeden lewa strona jest dodatnia, a prawa ujemna. Powinno być \(\displaystyle{ (-1)^n}\).

Udowodnienie tego polega na standardowych przekształceniach:
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2}\right) ^{\underline{n+1}}= \frac{1}{2}\cdot \left( -\frac{1}{2} \right) \cdot \left( -\frac{3}{2} \right) \cdot \left( -\frac{5}{2} \right) \cdot \ldots \cdot \left( \frac{1}{2}-n \right) = \\ =
(-1)^n \cdot \frac{1}{2^{n+1}}\cdot \prod_{k=1}^{n} (2k-1) = (-1)^n \cdot \frac{1}{2^{n+1}}\cdot \frac{\left( \prod_{k=1}^{n} (2k-1)\right) \cdot \left( \prod_{k=1}^{n} 2k\right) }{\prod_{k=1}^{n} 2k}= \ldots}\)

Jak prościej zapisać licznik? Co można wyłączyć przed znak iloczynu w mianowniku?

Q.