podział liczb, dylemat

[malwina123]

Witajcie,

mam takie zadanie, na ile sposbów można rozmieścić 10 jednakowych osób w 3 jednakowych pokojach, jeśli w każdym może znaleźć się dowolna ilość osób łącznie z zerem.

stwierdziłam, że mamy tutaj obiekty nierozróżnialne i części nie rozróżnialne, i wystarczy rozłożyć liczbę 10, czyli P(10, 3), po obliczeniach zgodnie z wzorem:
\(\displaystyle{ P(10,3) = \sum_{i=1}^{3} P(10-3,i) = P(7,1)+P(7,2)+P(7,3)}\) wychodzi, że jest 8. A tak na prawdę na piechotę licząc wyszlo 14, bo brałam jeszcze pod uwagę np. takie
\(\displaystyle{ 10 = 10 + 0 + 0}\)
\(\displaystyle{ 10 = 9+1+0}\)
itd.
Które rozumowanie jest dobre 8 czy 14? Sugeruje się jeszcze tym, że w treści zadania jest napisane, "łącznie z zerem".
Prosiłabym o pomoc.

[arek1357]

\(\displaystyle{ P(10,1)+P(10,2)+P(10,3)=1+2+P(10,3)}\)

W twoim przypadku to jedyna prawidłowa odpowiedź

Zer się nie bierze pod uwagę w podziale liczb a jeżeli chce się je włączyć to się dodaje wszystkie przypadki od jeden do trzy!

[malwina123]

Nie rozumiem, skąd to \(\displaystyle{ P(10,1)+P(10,2)+P(10,3)}\) ? nie korzystamy z tego wzoru który podałam wyżej? poza tym z tego wychodzi jeszcze inna wartość 1+2+8 = 11 co już w ogóle nie bardzo pasuje.
Mogłabym to ręcznie zrobić, ale to dość kiepskie rozwiązanie, nie mniej jednak widać wyrazie 14 możliwości.

10,0,0
9,1,0
8,2,0
8,1,1
7,3,0
7,2,1
6,4,0
6,3,1
6,2,2
5,5,0
5,4,1
5,3,2
4,3,3
4,2,4

[arek1357]

Chcesz obliczyć wszystkie możliwosci podziału liczby dziesięć na trzy części!

\(\displaystyle{ P(10,3)}\) - oznacza, że dzielisz liczbę 10 na trzy części ale nie bierzesz po uwagę zer czyli np

\(\displaystyle{ 10=7+2+1}\)

a teraz chcesz jeszcze dołączyć np:

\(\displaystyle{ 10=7+3+0}\)

Nie ma na to jakiegoś EXTRA WZORU ale możesz ten przypadek z zerem na końcu potraktować jako:

\(\displaystyle{ P(10,2)}\) bo zero się nie liczy

a na końcu może być jeszcze dwa zera czyli:

\(\displaystyle{ 10=10+0+0}\) - to jest przypadek: \(\displaystyle{ P(10,1)=1}\)

I dlatego musisz te dwie dodatkowe dodać:

czyli stąd mamy:

\(\displaystyle{ P(10,1)+P(10,2)+P(10,3)}\) bo dołączasz przypadki z zerami na trzecim miejscu lub na drugim i trzecim.

Teraz dopiero do obliczenia tych przypadków możesz użyć wzoru rekurencyjnego!