Pionek na szachownicy

rafaluk · Post autor: **rafaluk** » 11 mar 2015, o 18:07

Standardowa szachownica składa się z 64 pól.

Ile jest różnych dróg dla pionka, który musi przejść z lewego górnego rogu szachownicy (A8) do prawego dolnego rogu (H1), zakładając, że pionek w każdym pojedynczym ruchu może pójść albo o jedno pole w prawo, albo o jedno pole w dół?

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 11 mar 2015, o 18:35

Dróg jest:

\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{8}=7}\)

szachimat · Post autor: **szachimat** » 11 mar 2015, o 18:43

Odpowiedź trochę w formie żartu: Jeżeli przed pionkiem stoi wybór "poruszyć się w prawo", albo "w dół", to ma tylko tylko jedną drogę do wyboru (bo po prawej stronie ma brzeg). A tak na poważnie, to rozumiem, że chodzi o prawą stronę z naszego punktu widzenia.

pesel · Post autor: **pesel** » 11 mar 2015, o 19:06

A nie:

\(\displaystyle{ \frac{14!}{7! \cdot7!}}\)

Bo 7 razy prawo (P) i 7 razy w dół (D). Razem 14 ruchów w dowolnej kolejności. Czyli permutacje z powtórzeniami zbioru 14 elementowego, gdzie jedne elementy powtarzają się 7 i drugie też 7 razy?

Np.dla szachownicy 3x3 byłoby cztery ruchu, po dwa w dół i w prawo:

\(\displaystyle{ \frac{4!}{2! \cdot 2!}=6}\)

\(\displaystyle{ \{DDPP\},\{DPDP\},\{DPPD\},\{PDDP\},\{PDPD\},\{PPDD\}}\)

rafaluk · Post autor: **rafaluk** » 11 mar 2015, o 21:06

arek1357 pisze:Dróg jest:

\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{8}=8}\)

Chyba się nie zrozumieliśmy, ale dzięki za odpowiedź.

szachimat pisze:Jeżeli przed pionkiem stoi wybór "poruszyć się w prawo", albo "w dół", to ma tylko tylko jedną drogę do wyboru (bo po prawej stronie ma brzeg).

Dla pionka jest to zdecydowanie sytuacja tragiczna!

@pesel, o to chodziło! Dzięki!

Zatem istnieją \(\displaystyle{ \frac{14!}{7!\cdot 7!}=3432}\) takie drogi.

kropka+ · Post autor: **kropka+** » 11 mar 2015, o 22:36

Edit. Odwołuję swój wpis.

szachimat · Post autor: **szachimat** » 11 mar 2015, o 23:23

kropka+ pisze:Nie, dróg jest \(\displaystyle{ 7 \cdot 8=56}\)
Pionek musi zejść siedem wierszy w dół. Z każdego wiersza może zejść na niższy na osiem sposobów. Sprawdź np. na szachownicy \(\displaystyle{ 3 \times 3}\) jest \(\displaystyle{ 2 \cdot 3=6}\) dróg.

Źle rozumujesz. Należy wykonać 14 kroków, z tego dokładnie 7 musi być w prawo i dokładnie 7 w dół.
Twoje stwierdzenie, że "Z każdego wiersza może zejść na niższy na osiem sposobów" jest nieprawdziwe, bo jeżeli pionek znajdzie np. na polu H3, to może zejść na niższy poziom tylko na jeden sposób (nie ma już prawa chodzić po całym wierszu).
O ile w szachownicy 3 na 3, w której są do wykonania 4 kroki (2 w prawo i 2 w dół) twój wynik się powtórzył z wynikiem \(\displaystyle{ \frac{4!}{2! \cdot 2!}=6}\), to już przy szachownicy 4 na 4 nie zgodzi się z twoim schematem, co można sprawdzić "na piechotę".
Potwierdzam odpowiedź , którą podał pesel.

Szach i Mat

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 11 mar 2015, o 23:57

Teraz wiem ja brałem pod uwagę spacer po krawędziach a nie po polach!
Moja wina

kropka+ · Post autor: **kropka+** » 12 mar 2015, o 00:15

Tak, pesel dobrze rozwiązał.

szachimat · Post autor: **szachimat** » 12 mar 2015, o 00:19

Taki młody, a taki mądry