Poprawność rozwiązań dwóch zadań

[PAV38]

Hej,

Czy ktoś mógłby sprawdzić moje rozwiązania do poniższych zadań?

Zadanie 1
Ile jest ciągów binarnych o długości 7 złożonych z 4 zer i 3 jedynek w których 3 jedynki nie tworzą trzech kolejnych wyrazów?

Moja odpowiedź:
\(\displaystyle{ \left( \frac{7!}{3! \cdot 4!} \right)}\) - na tyle sposobów mogę ustawić 3 jedynki i 4 zera na 7 pozycjach

\(\displaystyle{ 5}\) - tyle jest ustawień w których 3 jedynki sąsiadują ze sobą

Czyli ostatecznie:

\(\displaystyle{ \left( \frac{7!}{3! \cdot 4!} \right) - 5 = 30}\)

Identyczne zadanie znalazłem tutaj:
31534.htm

Ale wg mnie odpowiedź nie jest poprawna i chciałbym to zweryfikować.


Zadanie 2
Na ile sposobów osoba przygotowująca spotkanie towarzyskie może wybrać 40 butelek soków, z pośród 4 rodzajów soków (A,B,C,D) tak, aby:
a) wybrała dokładnie 8 soków rodzaju B?
b) wybrała co najmniej 8 soków rodzaju B?

Moja odpowiedź:
a) Najpierw od 40 soków odejmuję 8 (bo te są narzucone z góry)
\(\displaystyle{ 40-8=32}\)

Potem obliczam na ile sposobów mogę wybrać 32 soki z 3 gatunków (A,C,D) korzystając ze wzoru na kombinacje z powtórzeniami:

\(\displaystyle{ {32+3-1 \choose 32}={34 \choose 32}}\)

b) Najpierw od 40 soków odejmuję 8 (bo te są narzucone z góry)
\(\displaystyle{ 40-8=32}\)

Potem obliczam na ile sposobów mogę wybrać 32 soki z 4 gatunków (A,B,C,D) korzystając ze wzoru na kombinacje z powtórzeniami:

\(\displaystyle{ {32+4-1 \choose 32} = {35 \choose 32}}\)

Z góry dziękuję

[jutrvy]

Co do zadania numer jeden, to można podejść do problemu tak:

Ustawiasz sobie najpierw cztery zera w rządku: \(\displaystyle{ -0-0-0-0-}\) i rozważasz dwa przypadki.

Pierwszy przypadek: żadne dwie jedynki nie sąsiadują ze sobą, wtedy wybierasz trzy spośród pięciu znaków \(\displaystyle{ -}\) dla jedynek. Znaki \(\displaystyle{ -}\) nieobsadzone jedynkami sklejasz i masz wszystkie takie ciągi, gdzie żadne dwie jedynki nie sąsiadują ze sobą.

Drugi przypadek: robisz z dwóch jedynek bliźnięta syjamskie i powtarzasz rozumowanie z pierwszego przypadku.

Sumujesz przypadek pierwszy i drugi.

Podejście drugie (prostsze):

Wszystkich ciągów jest \(\displaystyle{ {7 \choose 4}}\) wystarczy od tej liczby odjąć liczbę ciągów, w których trzy jedynki są kolejnymi wyrazami. Aby policzyć ile jest tych "złych" ciągów zlepiasz trzy jedynki w... trojaczki syjamskie?... i powtarzasz rozumowanie z przypadku pierwszego z pierwszego podejścia.

Wychodzi tyle samo co tobie? Zauważ, że tych złych ciągów faktycznie jest pięć, bo mamy między zerami pięć znaków \(\displaystyle{ -}\)

Pozdrawiam

[PAV38]

No zgodnie z tym co napisałeś powinno wyjść tyle co mi ja te "złe" przypadki po prostu wypisałem w kratkach na kartce...

Wyszło mi takie coś:
\(\displaystyle{ 1 1 1 0 0 0 0}\)

\(\displaystyle{ 0 1 1 1 0 0 0}\)

\(\displaystyle{ 0 0 1 1 1 0 0}\)

\(\displaystyle{ 0 0 0 1 1 1 0}\)

\(\displaystyle{ 0 0 0 0 1 1 1}\)

Czyli możliwych ciągów binarnych jest:
\(\displaystyle{ 35 - 5 = 30}\)

A wie ktoś czy drugie zadanie jest dobrze rozwiązane? Bo jest trochę trudniejsze niż to

[jutrvy]

Zadanie drugie (a):

dobrze kminisz, żeby na początku odjąć 8 soków i później trzeba liczyć kombinacje z powtórzeniami długości 32 ze zbioru 3-elementowego. To jest spoko.

(b):

Tutaj początek tak samo, najpierw wybierasz osiem soków rodzaju B, później liczysz kombinacje z powtórzeniami długości 32 ze zbioru 4-elementowego (bo teraz możesz jeszcze dobierać soki rodzaju B to tych ośmiu z początku).

Pozdrawiam