Dwumian Newtona

[malwina123]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu przykładu, lub podaniu jakiegoś linka do podobnych przykładów:

\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{100} {k \cdot {100 \choose k} }}\)

[kropka+]

Jest taka tożsamość

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} {k {n \choose k} }=n2 ^{n-1}}\)

więc jak Twoja suma jest od \(\displaystyle{ k=2}\) to wystarczy odjąć \(\displaystyle{ n}\)

[malwina123]

czyli wyszło by coś takiego : \(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{100} {k \cdot {100 \choose k} } = n2^{n-1}-n}\)
a z jakiego powodu odejmujemy \(\displaystyle{ n}\)

[kropka+]

Bo trzeba odjąć składnik sumy dla \(\displaystyle{ k=1}\)

[malwina123]

rozumiem i dziękuje, gdybyś mogła jeszcze tylko potwierdzić, że tak będzie dobrze \(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{100} {k \cdot {100 \choose k} } = n2^{n-1}-n}\)

[kropka+]

Przecież \(\displaystyle{ n=100}\), więc pisz tę liczbę a nie \(\displaystyle{ n}\)

[malwina123]

\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{100} {k \cdot {100 \choose k} } = n2^{n-1}-100}\)

[kropka+]

\(\displaystyle{ 100 \cdot 2 ^{99}-100=100\left( 2 ^{99}-1 \right)}\)

[malwina123]

dziękuje Ci bardzo kropka.