Ile liczb?

[trzebiec]

Ile liczb od 1 do 100000 mają po jednej cyfrze 3,4,5? Odpowiedź to 4536. Pomoże ktoś przejść przez to rozumowanie?

[miodzio1988]

wzor wlaczen i wylaczen sie klania, gdzie sie gubisz?

[trzebiec]

Akurat polecenie brzmi, żeby to wykonać z reguły mnożenia

[Kartezjusz]

Każdy rząd wielkości rozważ osobno i pododawaj licby

[miodzio1988]

według uznania, co tam Ci nie działa?

[Kartezjusz]

Wszystko jest dobrze, ale chcą wprost z reguły mnożenia:-(

[trzebiec]

Nie wiem jak to wszystko połączyć. Zaczynamy od 3 cyfrowych liczb bo mniejsze nie będą miały 3,4,5 jednocześnie. 3 cyfrowych liczb jest \(\displaystyle{ 3 \cdot 2 \cdot 1}\). Rozumiem wskazówkę Kartezjusza, ale nie wiem do końca jak to ma wyglądać. Teraz mam 4ry etapy na pierwszym mejscu nie moze stać 0 (wtedy nie będą 4ro cyfrowe, czyli na 1szym miejscu 6 możliwości, następnie po 1 i wszystko \(\displaystyle{ \cdot}\) \(\displaystyle{ 4!}\) bo tyle możliwych permutacji tych przypadków a jak zrobić te przypadki że 0 się pojawia? np. 3450?-- 9 mar 2015, o 21:16 --Nie wiem jak to wszystko połączyć. Zaczynamy od 3 cyfrowych liczb bo mniejsze nie będą miały 3,4,5 jednocześnie. 3 cyfrowych liczb jest \(\displaystyle{ 3 \cdot 2 \cdot 1}\). Rozumiem wskazówkę Kartezjusza, ale nie wiem do końca jak to ma wyglądać. Teraz mam 4ry etapy na pierwszym mejscu nie moze stać 0 (wtedy nie będą 4ro cyfrowe, czyli na 1szym miejscu 6 możliwości, następnie po 1 i wszystko \(\displaystyle{ \cdot}\) \(\displaystyle{ 4!}\) bo tyle możliwych permutacji tych przypadków a jak zrobić te przypadki że 0 się pojawia? np. 3450?

[szachimat]

Odnośnie liczb czterocyfrowych, w których nie ma zera jest tak, jak napisałeś \(\displaystyle{ 6 \cdot 4!}\)

Natomiast biorąc pod uwagę wszystkie przestawienia elementów 0, 3, 4, 5 - jest ich \(\displaystyle{ 4!=24}\). Czwarta ich część ma zero na początku, a zatem odpada. Czyli zostaje \(\displaystyle{ \frac{3}{4} \cdot 4!}\).

[trzebiec]

Dla liczb 5cio cyfrowych? \(\displaystyle{ 6 \cdot 6 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 5!}\) to te w których nie występują zera. Jesli 1 zero na poczatku to mamy przypadek wczesniejszy. 1 zero nie na poczatku to \(\displaystyle{ 6 \cdot 5! \cdot \frac{4}{5}}\) i zostaje przypadek z dwoma zerami, oba nie na poczatku bo to przypadki wczesniejsze ze i takich przypadkow mamy \(\displaystyle{ 5! \frac{3}{5}}\)

[szachimat]

W zapisie \(\displaystyle{ 6 \cdot 6 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 5!}\) jest nieścisłość. Nie możesz np. mnożyć przez 5! jeżeli masz elementy 1,1,3,4,5 (takie przypadki trzeba uwzględnić oddzielnie)

[trzebiec]

dziękuję, już rozumiem, spróbuję w całości rozpisać

[arek1357]

ja to widzę tak:

100000 to liczba sześciocyfrowa i w niej nie ma: \(\displaystyle{ 3,4,5,}\)
możemy odjąć jeden i masz liczbę pięciocyfrową.
I pytanie pierwsze może brzmieć tak:

Ile jest liczb pięciocyfrowych w których występują po razie cyfry:
\(\displaystyle{ 3,4,5}\)

Odpowiedź jest taka jak w przypadku a). w tamtym zadaniu a więc:

\(\displaystyle{ 2772}\)

Teraz postawmy pytanie drugie ile jest liczb czterocyfrowych w których występują po razie cyfry:\(\displaystyle{ 3,4,5}\)

Odpowiedź:

\(\displaystyle{ 3 \cdot {3 \choose 2} \cdot 2! \cdot 7+6 \cdot 3!=162}\)

Ostatnie pytanie to ile jest liczb trzycyfrowych, w których po jednej
występują cyfry: \(\displaystyle{ 3,4,5}\)

Odpowiedź:

\(\displaystyle{ 3!=6}\)

razem:

\(\displaystyle{ 2772+162+6=2940}\)

[szachimat]

A zatem patrząc na pytanie:

Ile liczb od 1 do 100000 mają po jednej cyfrze 3,4,5? Odpowiedź to 4536. Pomoże ktoś przejść przez to rozumowanie?

rozumujemy, że w poleceniu jest ukryte stwierdzenie "dokładnie po jednej cyfrze 3,4,5"
Wtedy odpowiedź, którą podaje arek1357 jest poprawna - wynosi 2940.
Natomiast gdyby było w pytaniu, że trzy cyfry 3,4,5 muszą występować i mogą się powtarzać, odpowiedzią byłby wynik 4350, który odbiega od wyniku podanego przez autora.
Chyba że ktoś metodą włączeń i wyłączeń dojdzie do innego wyniku, ale chyba już wszystko działa.

[arek1357]

Nawet jest jawnie:
"Po jednej cyfrze"


Tak wszystko się zgadza!