7 przyjaciół, zapraszanie na kolację
-
- Użytkownik
- Posty: 167
- Rejestracja: 21 paź 2009, o 20:44
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 19 razy
7 przyjaciół, zapraszanie na kolację
Pewien człowiek ma 7 przyjaciół. Zbadać na ile sposobów może zapraszać po 3 z nich na kolację przez 7 kolejnych dni tak, aby każdy z nich został zaproszony co najmniej raz.
Czy ktoś mógłby pomóc mi z tym zadaniem?
Czy ktoś mógłby pomóc mi z tym zadaniem?
- Medea 2
- Użytkownik
- Posty: 2491
- Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 479 razy
7 przyjaciół, zapraszanie na kolację
Chyba przyda się wzór włączeń i wyłączeń. Wszystkich możliwości jest:
\(\displaystyle{ {7 \choose 3}^7,}\)
bo z siedmiu wybieramy trzech przez siedem dni. Od tego odejmij te wybory, gdzie wybierane było tylko sześć, a nie siedem osób (łącznie), dodaj te, gdzie zaproszone zostało pięć osób, i tak dalej.
\(\displaystyle{ {7 \choose 3}^7,}\)
bo z siedmiu wybieramy trzech przez siedem dni. Od tego odejmij te wybory, gdzie wybierane było tylko sześć, a nie siedem osób (łącznie), dodaj te, gdzie zaproszone zostało pięć osób, i tak dalej.
-
- Użytkownik
- Posty: 167
- Rejestracja: 21 paź 2009, o 20:44
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 19 razy
7 przyjaciół, zapraszanie na kolację
A czy można tak?
\(\displaystyle{ A _{i}}\) - i osób nie dostało zaproszenia
\(\displaystyle{ \left| A _{i}\right|= {7 \choose i} {7 - i \choose 3} ^{7}}\), gdzie pierwszy składnik to wybranie osób nie do zaproszenia, a drugi - rozkład zaproszonych na kolejne dni.
\(\displaystyle{ A _{i}}\) - i osób nie dostało zaproszenia
\(\displaystyle{ \left| A _{i}\right|= {7 \choose i} {7 - i \choose 3} ^{7}}\), gdzie pierwszy składnik to wybranie osób nie do zaproszenia, a drugi - rozkład zaproszonych na kolejne dni.
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
7 przyjaciół, zapraszanie na kolację
Koncepcja dobra, ale w zbiorze włączeń i wyłączeń są części wspólne. Tu jak myślisz, jaka będą ich liczebność?
-
- Użytkownik
- Posty: 1674
- Rejestracja: 23 sty 2015, o 21:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: lubelskie
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 354 razy
7 przyjaciół, zapraszanie na kolację
Nie wiem, czy moje rozumowanie będzie dobre, ale najwyżej ktoś je skoryguje.
Ponieważ każda z siedmiu osób A, B, C, D, E, F, G musi się pojawić na kolacji któregoś dnia, to zaproszenia na kolejne dni tygodnia mogą być rozdzielone na \(\displaystyle{ 7!}\) sposobów.
Gdyby gospodarz zapraszał tylko jedną osobę na jeden wieczór, wśród tych układów żadna z osób nie zostałaby pominięta.
Przykładowo jeden z naszych układów dla kolejnych dni tygodnia jest następujący:
PPP WWW SSS CCC PPP SSS NNN
A_ _ F_ _ G_ _ E_ _ D_ _ C_ _ B_ _(nie wiem jak mi wyjdzie ten zapis po wysłaniu).
Przeczytalibyśmy go w sposób następujący: osoba A dostała zaproszenie na poniedziałek, osoba F na wtorek, G na środę itd.
A zatem biorąc pod uwagę ten układ musimy już teraz w dowolny sposób wybrać dwie osoby z sześciu na poniedziałek (bo już bez A), dwie z sześciu na wtorek (bo już bez F) itd.
Ale w tych układach coś się dubluje, a zatem przez coś trzeba będzie jeszcze dzielić. Może komuś uda się pociągnąć dalej moją koncepcję, ewentualnie ją skorygować.
Ponieważ każda z siedmiu osób A, B, C, D, E, F, G musi się pojawić na kolacji któregoś dnia, to zaproszenia na kolejne dni tygodnia mogą być rozdzielone na \(\displaystyle{ 7!}\) sposobów.
Gdyby gospodarz zapraszał tylko jedną osobę na jeden wieczór, wśród tych układów żadna z osób nie zostałaby pominięta.
Przykładowo jeden z naszych układów dla kolejnych dni tygodnia jest następujący:
PPP WWW SSS CCC PPP SSS NNN
A_ _ F_ _ G_ _ E_ _ D_ _ C_ _ B_ _(nie wiem jak mi wyjdzie ten zapis po wysłaniu).
Przeczytalibyśmy go w sposób następujący: osoba A dostała zaproszenie na poniedziałek, osoba F na wtorek, G na środę itd.
A zatem biorąc pod uwagę ten układ musimy już teraz w dowolny sposób wybrać dwie osoby z sześciu na poniedziałek (bo już bez A), dwie z sześciu na wtorek (bo już bez F) itd.
Ale w tych układach coś się dubluje, a zatem przez coś trzeba będzie jeszcze dzielić. Może komuś uda się pociągnąć dalej moją koncepcję, ewentualnie ją skorygować.
- Medea 2
- Użytkownik
- Posty: 2491
- Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 479 razy
7 przyjaciół, zapraszanie na kolację
Mógłbyś wyjaśnić to dokładniej? Chodzi o surjekcje ze zbioru trójek na zbiór osób? Myślałam, że myślimy w inną stronę: każdy dzień tygodnia dostaje trójkę.arek1357 pisze:Suriekcje:
\(\displaystyle{ S( {7 \choose 3},7 )}\)
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
7 przyjaciół, zapraszanie na kolację
A nie będzie tak:
\(\displaystyle{ {7 \choose 3}^7- {7 \choose 1} {6 \choose 3}^7+ {7 \choose 2} {5 \choose 3}^7- {7 \choose 3} {4 \choose 3}^7+ {7 \choose 4} {3 \choose 3}^7=55588723470}\)
Korzystając z zasady włączeń i wyłączeń.
\(\displaystyle{ {7 \choose 3}^7- {7 \choose 1} {6 \choose 3}^7+ {7 \choose 2} {5 \choose 3}^7- {7 \choose 3} {4 \choose 3}^7+ {7 \choose 4} {3 \choose 3}^7=55588723470}\)
Korzystając z zasady włączeń i wyłączeń.
Ostatnio zmieniony 10 mar 2015, o 20:55 przez arek1357, łącznie zmieniany 1 raz.
- Medea 2
- Użytkownik
- Posty: 2491
- Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 479 razy
7 przyjaciół, zapraszanie na kolację
No chyba jednak nie :/ Gdybyśmy zamienili u nas \(\displaystyle{ (7,3)}\) na \(\displaystyle{ (5,2)}\) w oczywisty sposób, to Twój wzór daje \(\displaystyle{ 61120}\), a poprawna odpowiedź to \(\displaystyle{ 63540}\). Wzór włączeń i wyłączeń nie urywa się za pierwszym wyrazem.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
7 przyjaciół, zapraszanie na kolację
Coś mi się twój wynik nie podoba przeanalizowałem to i powinno wyjść znacznie więcej zauważ że:
ilość wszystkich możliwości to:
\(\displaystyle{ {7 \choose 3}^7=64 339 296 875}\)
Więc jeśli każdy jest przynajmniej raz to wynik będzie mniejszy ale nie aż o tyle
ilość wszystkich możliwości to:
\(\displaystyle{ {7 \choose 3}^7=64 339 296 875}\)
Więc jeśli każdy jest przynajmniej raz to wynik będzie mniejszy ale nie aż o tyle
-
- Użytkownik
- Posty: 1674
- Rejestracja: 23 sty 2015, o 21:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: lubelskie
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 354 razy
7 przyjaciół, zapraszanie na kolację
A może ktoś potrafi napisać program na komputer, który poda wynik. Bo zadanie jest bardzo logiczne, ale rozwiązanie nie jest takie banalne, a ciekawi mnie do jakiego wyniku musimy dojść.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
7 przyjaciół, zapraszanie na kolację
Sprawdzałem ten mój wzór powyższy dla kilku możliwości.
np:
czworo ludzi, trzy dni i w każdym dniu zapraszane są dwie osoby problem ten sam rozwiązanie:
\(\displaystyle{ {4 \choose 2}^3-4 {3 \choose 2}^3 + {4 \choose 2} {2 \choose 2}^3=114}\)
Liczyłem na piechotę i się zgadza wynik!
Podobnie:
czterech ludzi, trzy dni, w każdym dniu zapraszanych jest trzy osoby łatwo na piechotę wyliczyć
możliwości 60
\(\displaystyle{ {4 \choose 3}^3-4 {3 \choose 3}^3=60}\)
Pięć ludzi, trzy dni, w każdym dniu zapraszanych jest trzy osoby też działa!
np:
czworo ludzi, trzy dni i w każdym dniu zapraszane są dwie osoby problem ten sam rozwiązanie:
\(\displaystyle{ {4 \choose 2}^3-4 {3 \choose 2}^3 + {4 \choose 2} {2 \choose 2}^3=114}\)
Liczyłem na piechotę i się zgadza wynik!
Podobnie:
czterech ludzi, trzy dni, w każdym dniu zapraszanych jest trzy osoby łatwo na piechotę wyliczyć
możliwości 60
\(\displaystyle{ {4 \choose 3}^3-4 {3 \choose 3}^3=60}\)
Pięć ludzi, trzy dni, w każdym dniu zapraszanych jest trzy osoby też działa!