N kul rozkładamy w n pudełkach

[takanator]

Na ile sposobów można n kul rozmieścić w n pudełkach tak, żeby dokladnie dwa pudelka zostały puste? Załóż że \(\displaystyle{ n>=3}\) oraz kule jak i pudełka są miedzy sobą rozróżnialne.

[jutrvy]

Najpierw musisz wybrać pudełka, które mają być puste. Tych wyborów będzie \(\displaystyle{ {n \choose 2}}\). Później rozkładasz \(\displaystyle{ n}\) kul w \(\displaystyle{ n-2}\) pudełkach. Możesz to zrobić na tyle sposobów, ile rozwiązań w liczbach całkowitych większych od zera ma następujące równanie:

\(\displaystyle{ k_1 + k_2 + \ldots + k_{n-2} = n}\).

Równoważnie możesz to zrobić na tyle sposobów, ile rozwiązań w liczbach całkowitych nieujemnych ma równanie:

\(\displaystyle{ k_1^{\prime} + k_2^{\prime} + \ldots + k_{n-2}^{\prime} = n + (n-2), \hbox{ gdzie } k_i^{\prime} = k_i + 1}\).

Może być?

[takanator]

Nie rozumiem o co chodzi z tymi równaniami potem. Może ktoś wykaże mi błąd w moim rozwiązaniu i naprowadzi mnie na dobre.

- Najpierw wybieram dwa pudełka które będą puste \(\displaystyle{ {n \choose 2}}\)
- Następnie w każdym pozostałym pudełku musi być co najmniej jedna kula czyli \(\displaystyle{ n-2}\) kule w \(\displaystyle{ n-2}\) pudełkach \(\displaystyle{ (n-2)*(n-3)* ... * 2 * 1}\)
- następnie zostają dwie kule które wybieramy na \(\displaystyle{ {n \choose 2}}\) i wkładamy do jednego z \(\displaystyle{ n-2}\) pudełek czyli \(\displaystyle{ {n-2 \choose 2}}\)

Ostatecznie:

\(\displaystyle{ {n \choose 2} * [(n-2)*(n-3)* ... * 2 * 1] * {n \choose 2} * {n-2 \choose 2}}\)

Poprawnie?

[Medea 2]

Źle liczysz. Niech \(\displaystyle{ n = 4}\). Wtedy w drugim kroku rozdzielasz tylko kule 1, 2 (chyba?), a potem dorzucasz dwie (3, 4)... ale gdzie?

[takanator]

dorzucam potem dwie ponieważ kul jest tyle samo ile pudełek, i każde z n-2 pudełek musi mieć co najmniej jedną kule, czyli zostają dwie które muszą być przydzielone do pudełka gdzie już jakaś kula jest

[jutrvy]

Z tymi równaniami chodzi mi o to, że \(\displaystyle{ k_i}\), to liczba kul w \(\displaystyle{ i}\)-tej komórce, \(\displaystyle{ i}\) się zmienia od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ n-2}\), bo tyle mamy do obsadzenia pudełek i każde pudełko ma mieć co najmniej jedną kulkę, więc \(\displaystyle{ k_i>0}\) no i \(\displaystyle{ k_i}\) muszą się sumować do \(\displaystyle{ n}\), bo tyle w sumie jest wszystkich kulek. Drugie równanie powstało w ten sposób, że dodałem do obu stron pierwszego \(\displaystyle{ n-2}\).

Teraz ok?