Przekształcanie wzoru newtona.

[Anxious]

Próbuje i próbuje, ale nie jestem w stanie odpowiednio przekształcić wzoru, tak aby udało się udowodnić zależność z poniższego zadania.

Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ k \in N}\) i \(\displaystyle{ n \in N}\) i \(\displaystyle{ k<n}\), to \(\displaystyle{ {n\choose k}+{n\choose k+1}={n+1\choose k+1}}\) .

Z góry dziękuje za pomoc

[Zahion]

Rozpisz lewą stronę i pokaż co otrzymujesz.

[Anxious]

\(\displaystyle{ {n\choose k}+{n\choose k+1}= \frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}+\frac{n!}{(n-k-1)! \cdot (k+1)!}= \frac{n!}{(n-k)(n-k-1)! \cdot k!}+ \frac{n!}{(n-k-1)! \cdot (k+1) \cdot k!}}\)

Dalej próbowałem wyciągać przed nawias, sprowadzać do wspólnego mianownika, wymnażać, ale wszystko zdaje się bez sensu.

[Zahion]

Po pierwszej równości, pierwsze wyrażenie, podwójna silnia nie ma sensu, powinno być w mianowniku \(\displaystyle{ \left( n-k\right)! k!}\). Poza tym sprowadzenie do wspólnego mianownika daje rozwiązanie, pokaż jak sprowadzasz.

[Anxious]

\(\displaystyle{ {n\choose k}+{n\choose k+1}= \frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}+\frac{n!}{(n-k-1)! \cdot (k+1)!}= \frac{n!}{(n-k)(n-k-1)! \cdot k!}+ \frac{n!}{(n-k-1)! \cdot (k+1) \cdot k!}= \frac{n!}{(n-k-1)! \cdot k!}( \frac{1}{n-k}+\frac{1}{k+1})=\frac{n!}{(n-k-1)! \cdot k!} \cdot \frac{n+1}{(n-k)(k+1)}= \frac{(n+1)!}{(n-k)! \cdot (k+1)!}}\)

Ok. Mam. Mój błąd polegał na tym, że na papierze w jednym miejscu zapisałem \(\displaystyle{ k-1}\) zamiast \(\displaystyle{ k+1}\) i dlatego mi nie wychodziło.

Dzięki.