Ustawianie zawodników na torach bieżni.

[Anxious]

W biegu na 100 metrów wystartuje ośmiu zawodników; czterej Jamajczycy, trzej Anglicy i Grek. Bieg rozegrany zostanie na bieżni składającej się z ośmiu torów. Przed biegiem przeprowadzone zostanie losowanie, które ustali na którym torze pobiegnie dany lekkoatleta. Ile jest takich możliwych wyników losowania, że żadnych dwóch zawodników z Europy nie pobiegnie na sąsiednich torach?

Próbowałem to rozwiązać podobnie do zadania, gdzie trzeba było uniknąć posadzenia przy sobie pary osób na 5 miejscach w kinie.

Wszystkich możliwości losowania jest \(\displaystyle{ 8! = 40320}\). Następnie szukam liczby wszystkich losowań w których para europejczyków będzie obok siebie.

Jest osiem miejsc para \(\displaystyle{ AB}\) europejczyków może zająć je na \(\displaystyle{ 7}\) sposobów. Losowane są też \(\displaystyle{ 2}\) osoby do pary na \(\displaystyle{ {4\choose 2}}\) sposoby, może się zmienić ich kolejność więc jeszcze \(\displaystyle{ 2!}\) sposobów. Pozostałe 6 osób można rozlosować dowolnie na \(\displaystyle{ 6!}\) czyli ostatecznie takich możliwości, gdzie biegnie przy sobie 2 europejczyków jest:

\(\displaystyle{ 7 \cdot {4\choose 2} \cdot 2! \cdot 6! = 60480}\)

... I tutaj widać, że mój wynik jest bez sensu, bo nie może być to większa liczba od całkowitej ilości możliwości.

Czy mógłby mi ktoś pomóc znaleźć rozwiązanie, albo jeszcze lepiej błąd w moim? Z góry dziękuje.

[mat_61]

Wskazówka:
Zauważ, że jest czterech zawodników z Europy i żadnych dwóch nie może biec na sąsiednich torach. Oznacza to, że zawodnicy z Europy muszą biec albo na torach \(\displaystyle{ 1,3,5,7}\), albo na torach \(\displaystyle{ 2,4,6,8}\).
Czy teraz wiesz jak to policzyć?

-- 5 mar 2015, o 17:03 --

Podstawowy błąd w Twoim rozumowaniu jest taki, że licząc w ten sposób wielokrotnie liczysz takie same warianty jako różne (stąd jest ich w Twoim rozwiązaniu tak dużo).

Jeżeli mamy zawodników J1, J2, J3, J4, A1, A2, A3, G1, to wg Twojego sposobu liczenia może być tak:

1. Wybieramy dwóch Europejczyków: np. A2 i G1
2. Losujemy ich kolejność: np. G1, A2
3. Wybieramy tor dla pierwszego z nich: np. tor numer 2
4. Ustalamy kolejność na niezajętych torach dla pozostałych zawodników: np. J1, J2, J3, A1, A3, J4

W efekcie otrzymujemy takie rozstawienie:

J1, G1, A2, J2, J3, A1, A3, J4

Ale może też być tak:

1. Wybieramy dwóch Europejczyków: np. A1 i A3
2. Losujemy ich kolejność: np. A1, A3
3. Wybieramy tor dla pierwszego z nich: np. tor numer 6
4. Ustalamy kolejność na niezajętych torach dla pozostałych zawodników: np. J1, G1, A2, J2, J3, J4

W efekcie motrzymujemy takie rozstawienie:

J1, G1, A2, J2, J3, A1, A3, J4

Jak widzisz kolejne losowania (wybory) były różne, ale efekt identyczny. Oznacza to, że w tym przypadku dwukrotnie liczone jest takie samo rozstawienie.

Ponadto są jeszcze przypadki gdy trzech lub czterech europejczyków może być koło siebie (wg Twojego sposobu liczenia) i wóczas identyczne końcowe rozstawienie uzyskasz przy bardzo wielu różnych losowaniach.

[Anxious]

Bardzo Ci dziękuje za te wyczerpującą odpowiedź. Za pomocą wskazówki udało mi się dojść do poprawnego wyniku. Muszę uważać, bo czasami wpadam w błędne rozumowanie przy rachunku p i kombinatoryce. Jeszcze raz dziękuje