Kulki w pudełkach

[musialmi]

\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}=10}\)

kule nierozróżnialne a pudełka rozróżnialne możliwości:

\(\displaystyle{ {3+10-1 \choose 10}=66}\)

To jeszcze wyjaśnij skąd to Bo tego gotowca to ja znam, ale nie rozumiem.

[arek1357]

A ja to znam ze wzoru Pani w szkole mnie tego nauczyła taki wzorek:

\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{n}=k}\)

Ilość rozwiązań takiego równania w całkowitych nieujemnych to:

\(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k}}\)

jeżeli założymy, że chcemy rozwiązania dla naturalnych tzn. większych lub równych jeden to wtedy wzorek jest taki:

\(\displaystyle{ {k-1 \choose n-1}}\)

Najlepiej wyprowadza się to używając funkcji tworzących

[musialmi]

Mnie też nauczyła Ale uczenia się rzeczy, których nie rozumiem, nie akceptuję, więc się nauczyłem na pamięć na kołokwium i potem mnie to już nie obchodziło. No i teraz chętnie się dowiem dlaczego to działa.

[arek1357]

jest to równoważne temu:

\(\displaystyle{ (1+x+x^2+...+...)^n=\frac{1}{(1-x)^n}}\)

współczynnik przy \(\displaystyle{ x^k}\) jest ilością rozwiązań tego równania jak łatwo zauważyć:

teraz sumujesz ciąg geometryczny nieskończony i otrzymujesz:

\(\displaystyle{ \frac{1}{(1-x)^n}= \sum_{k=0}^{ \infty } \frac{(n+k-1)!}{(n-1)!k!}x^k}\)

rozwijasz w szereg!

Czyli jak widać współczynnik przy \(\displaystyle{ x^k}\) to właśnie nasze:

\(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k}}\)

[szachimat]

To może znowu się wtrącę, ale skoro chcesz mieć jeden wzór, to podciągając to zadanie pod podany wzór na kombinacje z powtórzeniami (choć jak zauważyłeś jest on trochę mało czytelny) wyjaśnię na naszych przykładach:

Już przy dwóch kulach i dwóch pudełkach mamy:

dla nierozróżnialnych:
A A
AA .
. AA
3 możliwości

Tutaj było dla dwóch kul:
K K
11 - ten zapis będzie oznaczał, że w pudełku 1 są dwie kule
12 - ten zapis będzie oznaczał, że w pudełku 1 jest kula i w pudełku 2 jest kula
22 - ten zapis będzie oznaczał, że w pudełku 2 są dwie kule
Są to układy z powtórzeniami 2-elementowe (k) z dwóch elementów (n)
czyli dla \(\displaystyle{ n=2}\) i \(\displaystyle{ k=2}\) mamy z tego wzoru \(\displaystyle{ {3\choose 2}=3}\)

W sytuacji kolejnej, o którą prosiłem abyś wypisał było 2 kule (k) i 3 pudełka (n)
K K
11
12
13 - w 1 pudełku kula i w 3 pudełku kula
22
23
33
Są to układy z powtórzeniami 2-elementowe (k) z trzech elementów (n).
Czyli korzystając z tego wzoru mamy znowu: \(\displaystyle{ {4 \choose 2} =6}\)

I w końcu w naszym zadaniu mamy 10 kul (k) i trzy pudełka (n)
KKKKKKKKKK
1111111111 - w pudełku 1 - wszystkie 10 kul
1111111112 - w pudełku 1 - 9 kul, w pudełku 2 - jedna
itd. (i uwaga: układ 2111111111 jest równoważny temu wyżej)
Są to właśnie kombinacje z powtórzeniami 10-elementowe (k) z 3 elementów (n) (kolejność nie jest istotna)
Czyli znowu korzystając z gotowego wzoru mamy: \(\displaystyle{ {12 \choose 10}=66}\)

A wzór to oczywiście:\(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k}}\)

Szach i Mat

[musialmi]

współczynnik przy \(\displaystyle{ x^k}\) jest ilością rozwiązań tego równania jak łatwo zauważyć:

Ja tego nawet trudno nie widzę, a co dopiero łatwo...

[arek1357]

Trzeba się wgryźć

[musialmi]

Zarąbiście xD

[AndrzejK]

180686.htm#p670862
tu masz dobre wytłumaczenie