Witam.
Jak znaleźć zwartą postać sumy:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k^{3}}\) ?
Zwarta postać sumy
-
artmat
- Użytkownik
- Posty: 64
- Rejestracja: 16 wrz 2014, o 14:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 20 razy
Zwarta postać sumy
No tak. Skrócą się sumy \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k}i^{4}}\) i będzie można obliczyć \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k}i^{3}}\). Dziękuję za pomoc
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Zwarta postać sumy
\(\displaystyle{ a_{0}=0\\
a_{n}=a_{n-1}+n^3\\
A\left( x\right)=\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}\\
\sum_{n=1}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}=\sum_{n=1}^{ \infty }{a_{n-1}x^{n}}+\sum_{n=1}^{ \infty }{n^3x^n} \\
\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}=x\sum_{n=1}^{ \infty }{a_{n-1}x^{n-1}}+\sum_{n=0}^{ \infty }{n^3x^n}\\
A\left( x\right)\left( 1-x\right)=\sum_{n=0}^{ \infty }{n^3x^n}\\}\)
Teraz przydałoby się przedstawić wielomian \(\displaystyle{ n^3}\) w postaci Newtona
aby móc zwinąć ten szereg w sumę pochodnych szeregu geometrycznego
Do poczytania
... 5%BCnicowy
a_{n}=a_{n-1}+n^3\\
A\left( x\right)=\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}\\
\sum_{n=1}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}=\sum_{n=1}^{ \infty }{a_{n-1}x^{n}}+\sum_{n=1}^{ \infty }{n^3x^n} \\
\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}=x\sum_{n=1}^{ \infty }{a_{n-1}x^{n-1}}+\sum_{n=0}^{ \infty }{n^3x^n}\\
A\left( x\right)\left( 1-x\right)=\sum_{n=0}^{ \infty }{n^3x^n}\\}\)
Teraz przydałoby się przedstawić wielomian \(\displaystyle{ n^3}\) w postaci Newtona
aby móc zwinąć ten szereg w sumę pochodnych szeregu geometrycznego
Do poczytania
... 5%BCnicowy