Na ile sposobów można usiąść(...)

2kristof2 · Post autor: **2kristof2** » 20 lut 2015, o 17:29

Przy okrągłym stole ustawiono \(\displaystyle{ 6}\) jednakowych krzeseł. Na ile sposobów może usiąść przy tym stole \(\displaystyle{ 6}\) osób, tak aby osoby A i B siedziały obok siebie.

W odpowiedziach jest \(\displaystyle{ 48}\).

Mi się wydaję, że \(\displaystyle{ 252}\), ponieważ osoby mogą usiąść na \(\displaystyle{ 6}\) sposobów A i B lub odwrotnie B i A, czyli jeszcze razy dwa, pozostałe cztery miejsca to jakieś tam osoby, które mogą usiąść na \(\displaystyle{ 4!}\) sposobów, co razem daje \(\displaystyle{ 252}\). (\(\displaystyle{ 6 \cdot 2 \cdot 4!}\)). Proszę o wyjaśnienie gdzie jest mój błąd

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 20 lut 2015, o 17:31

Krzesła są identyczne, więc błędem jest mnożenie razy 6

vpprof · Post autor: **vpprof** » 20 lut 2015, o 17:43

\(\displaystyle{ 4! \cdot 2 \cdot 6=288}\) a nie \(\displaystyle{ 252}\) to po pierwsze. A po drugie, to tłumaczenie

Mi się wydaję, że 252, ponieważ osoby mogą usiąść na 6 sposobów A i B lub odwrotnie B i A, czyli jeszcze razy dwa, pozostałe cztery miejsca to jakieś tam osoby, które mogą usiąść na 4! sposobów, co razem daje 252.

jest kompletnie z sufitu. Które osoby mogą usiąść na \(\displaystyle{ 6}\) sposobów? A i B? Raczej nie. Wszystkie osoby? Też nie: zobacz, jeśli założymy, że B siedzi po A, to mamy \(\displaystyle{ 4!}\) możliwości usadzenia reszty, tak samo jeśli założymy, że B siedzi przed A — stąd mnożymy \(\displaystyle{ 4! \cdot 2}\).

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 20 lut 2015, o 17:45

vpprof, wydaję mi się, że autorowi tematu w mnożeniu razy \(\displaystyle{ 6}\) chodziło o całościowe przesadzanie każdej osoby. Tzn. np. każdy przesuwa się o jedno miejsce w prawo... potem znowu... i tak sześć razy, aż powróci się do początkowego ustawienia. Jednak tu mamy nierozróżnialne krzesła... powiedzmy: nienumerowane. Więc takie całościowe przesuwanie się towarzystwa traktowane jest tak samo.

2kristof2 · Post autor: **2kristof2** » 20 lut 2015, o 17:53

Dzięki Kacper za wytłumaczenie. Teraz już wiem po co pisali "identyczne krzesła"...
vpprof niestety nie zrozumiałeś mojego toku rozumowania.

vpprof · Post autor: **vpprof** » 20 lut 2015, o 19:41

Kacperdev, rozumiem, takie „całościowe przesuwanie” nazywa się w matematyce cyklem i zapisuje tak \(\displaystyle{ (1 2 3 4 5 6) = (2 3 4 5 6 1) = (3 4 5 6 1 2) \text{ itd.}}\) -- 20 lut 2015, o 19:44 --Acha dodam tylko, że o tym, iż mamy do czynienia z cyklem świadczą nie tylko jednakowe krzesła ale też okrągły stół. Okrągły stół bowiem nie ma początku więc każde rozmieszczenie osób można tak obrócić, by np. na górze była osoba A. Zatem każde rozmieszczenie można zapisać jako ciąg liter rozpoczynający się od A, czyli to A jest nieruchome.

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 20 lut 2015, o 19:45

vpprof, z Twojego poprzedniego postu nie wynikało, że rozumiesz. Używam języka adekwatnego do wieku użytkownika, który założył temat. Jemu nie jest potrzebne wiedzieć, że to jest cykl - on potrzebuje rozumieć co ma rozwiązać. Zgodnie z Twoim podpisem - myśleć.

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 21 lut 2015, o 02:26

B siedzi po A, to mamy 4! możliwości usadzenia reszty, tak samo jeśli założymy, że B siedzi przed A — stąd mnożymy\(\displaystyle{ 4! \cdot 2}\)

To jest poprawna odpowiedź!

Joff3R · Post autor: **Joff3R** » 19 lut 2017, o 14:57

podpunkt b) osoby A i B usiadły naprzeciwko siebie

Dlaczego odpowiedź to tylko \(\displaystyle{ 4!}\)
Dlaczego nie bierzemy pod uwagę, że osoby A i B zamienią się miejscami. Przecież będą miały wtedy innych sąsiadów?

W zadaniu jest podana uwaga: Dwa rozmieszczenia przy stole uznajemy za różne, jeśli w tych rozmieszczeniach co najmniej jedna osoba ma różnych sąsiadów.

tajnosagentos · Post autor: **tajnosagentos** » 19 lut 2017, o 22:36

Masz permutację koralikową w której masz 5 elementów w tym jeden podwójny czyli:

\(\displaystyle{ 4! \cdot 2}\)

Nie ma tu żadnej filozofii aleś odgrzał starego kotleta niezbyt zresztą smacznego...

Joff3R · Post autor: **Joff3R** » 20 lut 2017, o 22:01

Ale właśnie odpowiedź to \(\displaystyle{ 4!}\), a nie \(\displaystyle{ 4! \cdot 2}\)

vpprof · Post autor: **vpprof** » 20 lut 2017, o 23:08

Joff3R pisze:Ale właśnie odpowiedź to \(\displaystyle{ 4!}\), a nie \(\displaystyle{ 4! \cdot 2}\)

A sądzisz tak dlatego, że…?

tajnosagentos · Post autor: **tajnosagentos** » 21 lut 2017, o 00:37

Najpierw było, że w odpowiedzi jest 48 co daje \(\displaystyle{ 4! \cdot 2}\)
Teraz jest, że w odpowiedzi jest \(\displaystyle{ 4!}\) a co za tym idzie \(\displaystyle{ 24}\)

No zaczynamy sobie żartować albo cyferki w książce się zmieniły albo to nie ta książka była,
albo inne wydanie same zagadki zaczyna się robić śmiesznie zabawnie i ciekawie.
A ja głupi mówiłem że to stary kotlet to po prostu jest zabawne.

Joff3R · Post autor: **Joff3R** » 21 lut 2017, o 22:50

Autor tematu napisał sam podpunkt A, ja, może niesłusznie, stwierdziłem, że podpunkt B do tego samego zadania należy wypisać tutaj aniżeli zakładać nowy temat.

Przy okrągłym stole ustawiono 6 jednakowych krzeseł. Na ile sposobów może usiąść przy tym stole 6 osób, tak aby: osoby A i B usiadly naprzeciwko siebie. Odpowiedź to 24, czyli 4!. Moje pytanie to czemu nie bierzemy pod uwagę tego, że osoby naprzeciwko siebie moga zamienić się miejscami, tym samym zmieniając swoich sąsiadów.

PoweredDragon · Post autor: **PoweredDragon** » 21 lut 2017, o 23:28

Co nas interesują sąsiedzi?

A i B czyli 2 z 6 osób mogą siedzieć na dokładnie jeden sposób. Pozostałe 4 osoby rozsadzasz na pozostałych miejscach:

Pierwsza ma cztery sposoby na rozsadzenie
Druga trzy
Trzecia dwa
Czwarta jeden

Z tego wynika, że mamy \(\displaystyle{ 1 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 4!}\) sposobów, na które możemy te osoby rozsadzić.

Jeśli zamienisz osoby na przeciwko, to będą miały innych sąsiadów, ale weź pod uwagę, że wśród tych 24 ułożeń ci sąsiedzi już są policzeni jako sąsiedzi tej osoby po zamianie miejsc