Funkcje tworzące

[artmat]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu:
Funkcja \(\displaystyle{ G(z)= \frac{2z}{1+2 z^{2} }}\) jest zwartą postacią funkcji tworzącej jakiego ciągu ? Z jakiego wzoru należy tutaj skorzystać ?

[Medea 2]

Zauważ, że

\(\displaystyle{ \frac{1}{1-(-2z^2)}}\)

po rozwinięciu w szereg Taylora jest po prostu szeregiem geometrycznym.

[artmat]

Czyli należy skorzystać ze wzoru \(\displaystyle{ \sum_{k}^{} z^{k} = \frac{1}{1-z}}\) ?
Jak to dalej przekształcić ?

[Medea 2]

We wzorze

\(\displaystyle{ \sum_{k}^{} t^{k} = \frac{1}{1-t}}\)

podstaw \(\displaystyle{ t := -2z^2}\).

[artmat]

\(\displaystyle{ \sum_{k}^{} \left( -2 z^{2} \right) ^{k} = \frac{1}{1-\left( -2z ^{2} \right) }}\)
\(\displaystyle{ 2z \sum_{k}^{} \left( -2 z^{2} \right) ^{k}= \frac{2z}{1-\left( -2z ^{2} \right) }}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k}^{} 2\left( -2\right) ^{k} z ^{2k+1} = \frac{2z}{1-\left( -2z ^{2} \right) }}\)
Jak teraz z tego wyłuskać ciąg ?

[Medea 2]

Już wyłuskałeś:

\(\displaystyle{ a_{2k} = 0}\)
\(\displaystyle{ a_{2k+1} = (-1)^k \cdot 2^{k+1}}\)

[artmat]

Dlaczego \(\displaystyle{ a_{2k} = 0}\) ? Dlatego, że otrzymaliśmy ciąg wyrazów nieparzystych równy danej postaci zwartej i w reszcie miejsc musimy położyć \(\displaystyle{ 0}\) ?

[Medea 2]

Dokładnie dlatego. Jeżeli nie wierzysz, możesz rozwinać w szereg Taylora, prawdę Ci powie.

[artmat]

Dziękuję za pomoc