Zwarta postać funkcji tworzącej

[artmat]

Niech \(\displaystyle{ p _{n}}\) oznacza liczbę możliwych sposobów rozmienienia kwoty \(\displaystyle{ n}\) złotych za pomocą co najmniej dwóch i co najwyżej sześciu monet pięciozłotowych oraz dowolnej parzystej liczby monet dwuzłotowych. Jaka jest zwarta postać funkcji tworzącej ciągu \(\displaystyle{ p _{n}}\) ?

[arek1357]

Równanie będzie wyglądać następująco:

\(\displaystyle{ 5x+2y=n}\)

warunki:

\(\displaystyle{ 2 \le x \le 6}\)

\(\displaystyle{ y=0,2,4,6,8,...}\)

Co da nam funkcję tworzącą:

\(\displaystyle{ (x^{10}+x^{15}+x^{20}+x^{25}+x^{30})(1+x^4+x^8+x^{12}+...+x^{4k}+...)}\)

współczynnik przy: \(\displaystyle{ x^{n}}\)

jest odpowiedzią na problem postawiony w zadaniu.

[artmat]

Jak będzie wyglądała zwarta postać tej funkcji tworzącej ?

[arek1357]

A co rozumiesz poprzez zwarta?

Wydaje mi się że trzeba zsumować stosując wzór na sumę wyrazów ciągu geometrycznego!

I to powinno dać postać zwartą tak mi się wydaje.
Więcej wiem na temat zbiorów zwartych niż funkcji zwartych!

[artmat]

Jak będzie wyglądał zsumowany w ten sposób pierwszy czynnik ? Drugi to pro prostu \(\displaystyle{ \frac{1}{1- x^{4} }}\)

[arek1357]

Pierwszy raczej:

\(\displaystyle{ x^{10} \cdot \frac{1-(x^5)^5}{1-x^5}}\)

[artmat]

Dziękuję za pomoc