Zwarta postać sumy

[artmat]

Witam.
Chciałbym wyznaczyć zwartą postać sumy \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{\left( 2k+1\right) \left( 2k+3\right) }}\)
Z jakiej metody najlepiej skorzystać? Czy można zastosować metodę zaburzania sumy do tego przykładu? Proszę o wskazówki.

[Zahion]

Zauważ, że \(\displaystyle{ \frac{2}{n(n+2)}= \frac{1}{n}- \frac{1}{n+2}}\). Podstaw \(\displaystyle{ n = 2k+1}\)

[artmat]

Czyli zwarta postać sumy \(\displaystyle{ \frac{n+1}{n+2}}\). Czyli dla \(\displaystyle{ n=2k+1}\) postać zwarta \(\displaystyle{ \frac{2k+2}{2k+3}}\) ,tak ?
Czy można skorzystać tu z metody zaburzania sumy ?

[Zahion]

Coś jest zle. Dla \(\displaystyle{ n = k = 0}\) u Ciebie ta suma wynosi \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) ,a w zadaniu \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\).
Skorzystać można, ale nie wiem, czy uda się obliczyć. Nie zawsze się da.

[artmat]

Korzystam z sumowania różnic. Jaki powinienem przyjąć ciąg \(\displaystyle{ b _{k}}\) ?

[Zahion]

Nie wiem co to za metoda, ale jako, że idę już spać to przedstawię dowód.
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{\left( 2k+1\right) \left( 2k+3\right) } = \frac{1}{2} \cdot \sum_{k=0}^{n} \frac{2}{\left( 2k+1\right) \left( 2k+3\right) } = \frac{1}{2} \cdot \sum_{k=0}^{n}\left( \frac{1}{2k+1}- \frac{1}{2k+3} \right)= \frac{1}{2} \cdot \left(1- \frac{1}{2n+3} \right)= \frac{1}{2} \cdot \frac{2n+2}{2n+3}= \frac{n+1}{2n+3}}\)