Równania różnicowe

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
aga00
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 9 gru 2014, o 15:31
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław

Równania różnicowe

Post autor: aga00 »

Witam,

Dla równania \(\displaystyle{ a_{n+2}+\alpha a_{n+1}+\beta a_n=0}\) szuka się rozwiązań w postaci
\(\displaystyle{ a_n=c\lambda_1^n+d\lambda_2^n}\).
W jaki sposób można to dowieść?

Pozdrawiam
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Równania różnicowe

Post autor: Mariusz M »

Możesz skorzystać z funkcji tworzącej a otrzymasz sumę szeregów geometrycznych
Poza tym to jest prawdziwe tylko gdy
\(\displaystyle{ \alpha =const \wedge \beta =const \wedge \alpha ^2-4 \beta \neq 0}\)
Everard
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 166
Rejestracja: 11 lip 2007, o 22:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bytom
Pomógł: 49 razy

Równania różnicowe

Post autor: Everard »

Bardzo Nic Nie Wnoszący Dowód: skoro równanie jest drugiego stopnia, oczekujemy że każde rozwiązanie zależy jedynie od dwóch współczynników (\(\displaystyle{ a_0}\) i \(\displaystyle{ a_1}\) na przykład), zatem w rozwiązaniu ogólnym oczekujemy dwóch stałych (możesz to sobie uformalnić, ale wiadomo o co chodzi).

\(\displaystyle{ a_n=c\lambda_1^n+d\lambda_2^n}\) jest rozwiązaniem i zależy od dwóch stałych, więc każde rozwiązanie musi być tej postaci.

Oczywiście jest to dowód nic nie wnoszący bo nie mówi on skąd wziął się pomysł żeby brać rozwiązania takiej a nie innej postaci
ODPOWIEDZ