Witam,
Dla równania \(\displaystyle{ a_{n+2}+\alpha a_{n+1}+\beta a_n=0}\) szuka się rozwiązań w postaci
\(\displaystyle{ a_n=c\lambda_1^n+d\lambda_2^n}\).
W jaki sposób można to dowieść?
Pozdrawiam
Równania różnicowe
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6903
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Równania różnicowe
Możesz skorzystać z funkcji tworzącej a otrzymasz sumę szeregów geometrycznych
Poza tym to jest prawdziwe tylko gdy
\(\displaystyle{ \alpha =const \wedge \beta =const \wedge \alpha ^2-4 \beta \neq 0}\)
Poza tym to jest prawdziwe tylko gdy
\(\displaystyle{ \alpha =const \wedge \beta =const \wedge \alpha ^2-4 \beta \neq 0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 166
- Rejestracja: 11 lip 2007, o 22:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bytom
- Pomógł: 49 razy
Równania różnicowe
Bardzo Nic Nie Wnoszący Dowód: skoro równanie jest drugiego stopnia, oczekujemy że każde rozwiązanie zależy jedynie od dwóch współczynników (\(\displaystyle{ a_0}\) i \(\displaystyle{ a_1}\) na przykład), zatem w rozwiązaniu ogólnym oczekujemy dwóch stałych (możesz to sobie uformalnić, ale wiadomo o co chodzi).
\(\displaystyle{ a_n=c\lambda_1^n+d\lambda_2^n}\) jest rozwiązaniem i zależy od dwóch stałych, więc każde rozwiązanie musi być tej postaci.
Oczywiście jest to dowód nic nie wnoszący bo nie mówi on skąd wziął się pomysł żeby brać rozwiązania takiej a nie innej postaci
\(\displaystyle{ a_n=c\lambda_1^n+d\lambda_2^n}\) jest rozwiązaniem i zależy od dwóch stałych, więc każde rozwiązanie musi być tej postaci.
Oczywiście jest to dowód nic nie wnoszący bo nie mówi on skąd wziął się pomysł żeby brać rozwiązania takiej a nie innej postaci