Wykazać indukcyjnie

[matix]

Mamy podane definicje ciągu \(\displaystyle{ H_{k+1}=H_{k}+ \min_{i \le k}\left\{H_{i}:f\left( H_{i}\right) \ge H_{k} \right\}, \ H_{0}=1,H_{1}=2}\).
Znaleźć taki ciąg dla funkcji \(\displaystyle{ f(x)=3x}\) i udowodnić go.

Mi wyszło, że:
\(\displaystyle{ H_{1}=1\\
H_{2}=2\\
H_{3}=H_{2}+ \min_{i \le 2}\left\{H_{i}:f\left( H_{i}\right) \ge H_{2} \right\}=H_{2}+ \min_{i \le 2}\left\{H_{i}:3H_{i} \ge H_{2} \right\}=H_{2}+H_{0}=3\\
H_{4}=6\\
H_{5}=8\\
H_{6}=11\\
H_{7}=15\\
H_{8}=21}\)

Czyli wzór \(\displaystyle{ H_{k}=H_{k-1}+H_{k-4}}\) dla \(\displaystyle{ k \ge 5}\)

Tylko nie wiem jak to udowodnić.

[krl]

Tę definicję to sam wymyśliłeś czy tak była sformułowana w podręczniku? Bo ona się kupy nie trzyma...

[matix]

Tak była podana. A czemu sie kupy nie trzyma?

[krl]

Problem jest z zapisem minimum. Zapis \(\displaystyle{ \min_{i\leq k}}\) powinien się łączyć z jakimś ciągiem \(\displaystyle{ a_i}\) tak: \(\displaystyle{ \min_{i\leq k}a_i}\), i wtedy oznacza on najmniejszą z liczb \(\displaystyle{ \{a_0,\dots,a_k\}}\). Alternatywnie stosuje się zapis: \(\displaystyle{ \min A}\) na określienie minimalnego elementu zbioru \(\displaystyle{ A}\). Zapis, który Ty stosujesz, jest dziwaczną hybrydą.

[matix]

No to tu trzeba znaleźć \(\displaystyle{ \min H_{i}}\) ktore spełnia tamte warunki