Wykazanie równości
-
Vxst
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 7 lut 2015, o 11:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 6 razy
Wykazanie równości
Niech \(\displaystyle{ n>1}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1} {n \choose k}(n-k)=n}\). Wskazówka: rozważyć zbiory \(\displaystyle{ A_{i}=[n]-\left\{ i \right\}}\) dla \(\displaystyle{ 1 \le i \le n}\).
-
szw1710
Wykazanie równości
Wydaje mi się, że umiejętnie wykorzystując operator różnicowy (dobierając odpowiednią funkcję, zamieniając kolejność sumowania itp.) można to natychmiast dostać. Zobacz na mój wykład tu: 376642.htm
Zacząłbym od przenumerowania:
\(\displaystyle{ $\begin{multline*}
\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}\binom{n}{k}(n-k)=\sum_{n-k=0}^{n-1}(-1)^{n-(n-k)+1}\binom{n}{n-k}(n-k)=\\=
-\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^{n-i}\binom{n}{i}\cdot i\,.\end{multltine*}}\)
W moim wykładzie wystarczy wziąć teraz \(\displaystyle{ x=0}\) oraz \(\displaystyle{ h=1}\). Pamiętajmy, że brakuje składnika z numerem \(\displaystyle{ n}\), więc trzeba go dodać i odjąć. Zauważamy, że dla \(\displaystyle{ f(x)=x}\) mamy \(\displaystyle{ \Delta_h^n f(x)=0}\) dla \(\displaystyle{ n\ge 2}\) i po sprawie.
A teraz widzę, że w ostatnim wzorze mojego wykładu wykazałem nawet rzecz ogólniejszą.
Zacząłbym od przenumerowania:
\(\displaystyle{ $\begin{multline*}
\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}\binom{n}{k}(n-k)=\sum_{n-k=0}^{n-1}(-1)^{n-(n-k)+1}\binom{n}{n-k}(n-k)=\\=
-\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^{n-i}\binom{n}{i}\cdot i\,.\end{multltine*}}\)
W moim wykładzie wystarczy wziąć teraz \(\displaystyle{ x=0}\) oraz \(\displaystyle{ h=1}\). Pamiętajmy, że brakuje składnika z numerem \(\displaystyle{ n}\), więc trzeba go dodać i odjąć. Zauważamy, że dla \(\displaystyle{ f(x)=x}\) mamy \(\displaystyle{ \Delta_h^n f(x)=0}\) dla \(\displaystyle{ n\ge 2}\) i po sprawie.
A teraz widzę, że w ostatnim wzorze mojego wykładu wykazałem nawet rzecz ogólniejszą.
Ostatnio zmieniony 13 lut 2015, o 20:28 przez szw1710, łącznie zmieniany 8 razy.
