Zasada szufladkowa dla ciągu liczb

Hici · Post autor: **Hici** » 13 lut 2015, o 16:51

Czy w poniższym ciągu liczb:
1, 1, 9, 7, 12, 4, 12, 5, 7, 3, 7, 2, 10, 2, 3
można znaleźć niepusty spójny podciąg, którego suma jest podzielna przez 13? Odpowiedź uzasadnij.

Mamy się tutaj posłużyć zasadą szufladkową, taki spójny podciąg ławo znaleźć chociażby {5, 7, 3, 7, 2, 10, 2, 3}.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 13 lut 2015, o 16:55

Wsk zamiast 1,1,9,... etc napisz $\displaystyle{ a_1,a_2,\dots,a_{15}}$ i popatrz na reszty z dzielenia przez 13 liczb
$\displaystyle{ a_1}$, $\displaystyle{ a_1+a_2}$, $\displaystyle{ a_1+a_2+a_3}$,...,$\displaystyle{ a_1+a_2+\dots+a_{15}}$

Hici · Post autor: **Hici** » 13 lut 2015, o 17:34

Dobrze mamy 13 szufladek z resztami z dzielenia przez 13, ale nie wiem jak zapisanie ciągu jak $\displaystyle{ a_{1}, a_{2},..., a_{15}}$ ma mi pomóc wykazać czy mamy podciąg podzielny przez 13.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 13 lut 2015, o 18:29

To pomyśl jak zrobić "spojny podciąg", gdy np siódma i dwunasta suma dają tę sama tresztę?

Zamiana konkretnych licz na $\displaystyle{ a_i}$ pokazuje, że twierdzenie zachodzi nie tylko dla tego ciagu, ale dla dowolnych 15 liczb naturalnych.

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 13 lut 2015, o 18:58

Jak znalazłaś taki podciąg to uważam że koniec zadania i nie ma co szukać dziury w całym!

a4karo · Post autor: **a4karo** » 13 lut 2015, o 19:26

arek1357 pisze:Jak znalazłaś taki podciąg to uważam że koniec zadania i nie ma co szukać dziury w całym!

Nie zgodzę się: warto wskazać uogólnienie i metodę, która zadziała przy dowolnym ciagu i dowolnej liczbie (w miejsce 13).
Prawdziwe jest takie twierdzenie:

W dowolnym ciagu $n+1$-wyrazowym liczb całkowitych znajdzie się "spójny" kawałek, którego suma jest podzielna przez $\displaystyle{ n}$.

Dowodzi sie je własnie tak, jak pokazuję, czekam na wnioski, jakie wyciągnie autor posta.