Kolejny problem z ilością liczb.

[NogaWeza]

Znów ja, tym razem dwa ostatnie zadania, z którymi mam pewien problem.
1) Ile jest liczb ośmiocyfrowych, w których zapisie \(\displaystyle{ 0}\) występuje 5 razy, a pozostałe cyfry są nieparzyste.

Rozwiązałem to zadanie w ten sposób, że wybrałem 5 miejsc na \(\displaystyle{ 0}\) czyli \(\displaystyle{ {8\choose5}}\) a pozostałe liczby wybrałem na \(\displaystyle{ 5^3}\) sposobów. Oczywiście teraz uwzględniłem sytuację, gdy \(\displaystyle{ 0}\) będzie na pierwszym miejscu. Zatem pierwszą cyfrę losuję na \(\displaystyle{ 1}\) sposób (bo musi być to cyfra \(\displaystyle{ 0}\)), pozostałe cztery cyfry \(\displaystyle{ 0}\) rozmieszczam na \(\displaystyle{ {7\choose3}}\) sposobów i pozostałe miejsca wypełniam liczbami nieparzystymi na \(\displaystyle{ 5^3}\) sposobów. Ostatecznie otrzymuję \(\displaystyle{ {8\choose5} \cdot 5^3 - 1\cdot{7\choose4}\cdot5^3 = 21\cdot5^3}\) Mój wynik to \(\displaystyle{ 2625}\), podczas gdy w zbiorze zadań odpowiedź to \(\displaystyle{ 2626}\). Gdzie popełniłem błąd? Byłbym wdzięczny za naprostowanie mojego rozumowania.

[Gouranga]

Jest błąd w odpowiedziach. Twoje rozwiązanie jest na zasadzie włączania i wyłączania i jest poprawne ale można prościej:
Na pierwszym miejscu musi stać cyfra nieparzysta, wybieramy ją na \(\displaystyle{ 5}\) sposobów
następnie z pozostałych 7 miejsc wybieramy 5 na zera (albo 2 na pozostałe cyfry, to to samo), potem dwie pozostałe liczby na \(\displaystyle{ 5^2}\)
stąd mamy
\(\displaystyle{ 5^3 {7 \choose 5} = 2625}\)

tak czy inaczej masz dobry wynik

[NogaWeza]

Ok, rzeczywiście nie pomyślałem o tym a dało się prościej. Dzięki

[Gouranga]

W sumie z Twojego wynika moje
zauważ, że:
\(\displaystyle{ 5^3 {8 \choose 5} - 5^3 {7 \choose 4} = 5^3 \left( {8 \choose 5} - {7 \choose 4} \right)}\)

i po przeliczeniu wychodzi to samo