Ilość liczb czterocyfrowych.

[NogaWeza]

Witam, mam problem z pewnie dość prostym zadaniem kombinatorycznym i potrzebuję jakichś wskazówek, bo dopiero zaczynam przerabiać ten dział.

Ile jest różnych liczb czterocyfrowych, w których zapisie cyfra \(\displaystyle{ 5}\) występuje:
a) dwa razy
b) nie więcej, niż dwa razy?

Jak już mówiłem, będę wdzięczny za wskazówki

[Kacperdev]

a) dwie piątki muszą być na pewno, więc je stawiam najpierw na \(\displaystyle{ {4 \choose 2}}\) miejsach. Teraz wystarczy uzupełnić dwa pozostałe miejsca liczbami różnymi od piątki. (odzielnie musisz tez rozpatrzeć przypadek gdy na początku stoi zero - bo wtedy nie mamy liczby czterocyfrowej)

[Gouranga]

1. Musisz rozważyć 2 przypadki, z piątką na początku i nie (z racji tego że na pierwszej pozycji nie może stać zero)
Piątka na początku: wybierz jedno z 3 pozostałych miejsc na drugą piątkę, na pozostałe dwa miejsca dowolne cyfry oprócz piątek:
\(\displaystyle{ {3 \choose 1} \cdot 9^2}\)
Nie piątka na początku: wybierz 2 miejsca z 3 na piątki, na dwa pozostałe dowolne cyfry (oprócz piątek) ale na jednym będzie ich tylko 8 możliwych (bez 0):
\(\displaystyle{ {3 \choose 2} \cdot 9 \cdot 8}\)
I to trzeba zsumować

2. od wszystkich czterocyfrowych odejmij wszystkie, gdzie są co najmniej 3 piątki:
\(\displaystyle{ 9000 - 9 - 10{3 \choose 2} = 8961}\)
i zauważ, że liczbę \(\displaystyle{ 5555}\) odjąłeś 4-krotnie, więc trzeba dodać \(\displaystyle{ 3}\)
\(\displaystyle{ 8961 + 3 = 8964}\)
co do tego sposobu poczytaj o metodzie włączania i wyłączania

[NogaWeza]

Dobra, wydaje mi się, że załapałem o co chodzi. Dzięki serdeczne za odpowiedzi