wybór kul z urny / wybór z talii kart / pdp warunkowe

[olokotampus]

Pomoże ktoś z zadaniami na jutrzejszą poprawę kolosa?? :L (rano... :c) Prosiłbym o rozpisanie użytych wzorów i wszelkich kroków w wersji "dla debila".


1. W urnie znajduje się 5 kul białych, 3 czerwone i 2 niebieskie. Z urny losujemy ze zwracaniem 4 kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród kul wylosowanych są 2 kule białe, 1 czerwona i 1 niebieska?

2. Talia kart zawiera 52 karty czterech kolorów, po 13 w każdym. Wyciągnięcie każdej karty jest równo prawdopodobne. Wybieramy losowo 6 kart. Wyznaczyć:
a) prawdopodobieństwo, że wśród wybranych kart znajdzie się król pik,
b) prawdopodobieństwo, że wśród wybranych kart znajdzie się co najmniej 1 kier.

3. W urnie znajduje się 5 kul czarnych. Rzucono monetą. Jeśli otrzymano orła, 7 kul białych wrzucono do urny; jeśli reszkę, 4 kule białe wrzucono do urny. Wylosowano z urny 1 kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowano kulę czarną?
4. Na odcinku o długości l wybrano losowo 1 punkt, który dzieli go na 2 odcinki o długościach a i b. Jakie jest prawdopodobieństwo, że stosunek długości otrzymanych odcinków zawiera się w przedziale <1/3 ; 3>?

5. Rzucamy sprawiedliwą monetą, jeśli wypadnie orzeł, to rzucamy kostką do gry dwukrotnie, jeśli reszka, to trzykrotnie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przynajmniej raz wyrzucono 6?

6. Wyznaczyć stałą a tak, aby funkcja:
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} 0, x \le 0 \\ \frac{x}{2}, 0 < x < a \end{cases}}\)
była dystrybuantą pewnej zmiennej losowej X, a następnie wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję tej zmiennej losowej.

7. Dany jest ciąg zmiennych losowych niezależnych o dystrybuantach: \(\displaystyle{ F_{k} (x) = 1 - x ^{-2}}\) dla \(\displaystyle{ x \ge 1}\)
Zbadaj zbieżność ciągu \(\displaystyle{ Y_{n} = (m_{n})^{n+5}}\)

8. Rozważmy następującą grę losową: z urny, w której znajdują się 3 kule ponumerowane liczbami 1,2,3 losujemy jedną, a następnie wykonujemy tyle rzutów monetą, ile wskazuje liczba na wylosowanej kuli. Wyznacz łączny rozkład wektora losowego X,Y, jeśli X oznacza numer wylosowanej kuli, a Y liczbę wyrzuconych orłów.

9. Łączna gęstość (X,Y) dana jest wzorem:
\(\displaystyle{ \begin{cases} ax dla 0 < x,y < 1 \\ 0 poza \end{cases}}\)
Wyznaczyć wartość stałej a i EXY\(\displaystyle{ ^{2}}\).

10. Urządzenie składa się z 500 elementów, prawdopodobieństwo, że losowo wybrany element działa poprawnie jest równe 0,8. Urządzenie działa, jeśli co najmniej 78% jego elementów działa. Oszacować, korzystając z centralnego twierdzenia graficznego, prawdopodobieństwo, że w danej chwili urządzenie będzie działać.

[miodzio1988]

I co jeszcze? Jakieś proby rozwiazania?

[olokotampus]

Uczyłem się z eTrapeza, rozwiązywałem różne zadania, ale gdy zaczynało mi się wydawać, że wiem jak to zrobić, to się gubiłem znowu i nie wiem, jak to rozwiązać.

[miodzio1988]

Pokaz jak robisz poprowadzimy

[olokotampus]

Nie mam w ogóle pojęcia jak się za to zabrać, aby pierwsze coś skrobnąłem. Gdy użyłem ułamków:
\(\displaystyle{ \frac{2}{5} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2}}\)
To wyszło mi ponad 1, czyli bezsens. To samo dla symbolu Newtona, też ponad 1:
5 nad 2 + 3 nad 1 + 2 nad 1.

[miodzio1988]

Najpierw ile mamy wszystkich mozliwosci? Od tego zacznijmy

[ZeroTolerance]

mam 3 pierwsze, zrobiłem to tak:
1.
5 białych, 3 czerwonych, 2 niebieskie
Omega = \(\displaystyle{ {4 + 10 - 1 \choose 4}}\)
A = \(\displaystyle{ {2 + 5 - 1 \choose 2} * {1 + 3 - 1 \choose 1} * {1 + 2 - 1 \choose 1}}\)
P(A) = \(\displaystyle{ \frac{A}{Omega}}\)

2.
Omega = \(\displaystyle{ {52 \choose 6}}\)
A = \(\displaystyle{ {51 \choose 5} * {1 \choose 1}}\)
B = \(\displaystyle{ {39 \choose 5} * {13 \choose 1} + {39 \choose 4} * {13 \choose 2} + {39 \choose 3} * {13 \choose 3} + {39 \choose 2} * {13 \choose 4} + {39 \choose 1} * {13 \choose 5} + {39 \choose 0} * {13 \choose 6}}\)

3.
wypadnie orzeł = \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) :
5c+7b=12
\(\displaystyle{ Omega = {12 \choose 1}}\)
A = \(\displaystyle{ {5 \choose 1}}\)
P(A) = \(\displaystyle{ \frac{A}{Omega}}\) = \(\displaystyle{ \frac{5}{12}}\)
wypadnie reszka = \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) :
5c+4b=9
\(\displaystyle{ Omega = {9 \choose 1}}\)
B = \(\displaystyle{ {5 \choose 1}}\)
P(B) = \(\displaystyle{ \frac{B}{Omega}}\) = \(\displaystyle{ \frac{5}{9}}\)
\(\displaystyle{ P(A \cap B)}\) = \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) * \(\displaystyle{ \frac{5}{12}}\) + \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) * \(\displaystyle{ \frac{5}{9}}\)