Kombinacja z powtórzeniami

collidus · Post autor: **collidus** » 31 sty 2015, o 14:31

Witam,
mam problem z poniższym zadaniem:
Dwoje studentów zarządzania zebrało 10 rumianków, 16 bławatków, i 14 niezapominajek. Na ile
sposobów mogą podzielić się kwiatkami?

Prawidłowa odpowiedź to: \(\displaystyle{ {10 + 2 - 1 \choose 10} {16 + 2 - 1 \choose 16} {14 + 2 - 1 \choose 14}}\). Chodzi o to, że nie jestem w stanie zrozumieć jak dojść do tej odpowiedzi, oczywiście rozumiem, że każdemu studentowi można przypisać odpowiednio: 0-10 rumianków, 0-16 bławatków, 0-14 niezapominajek i związku z tym ilość możliwości podziału to 11*17*15, ale nie jestem w stanie zrozumieć jak zastosowano tu wzór na kombinacje z powtórzeniami: \(\displaystyle{ {n + k - 1 \choose k}}\) czyli losowanie k-elementowego pseudo zbioru, ze zbioru n-elementowego. I właściwie to czemu tu jest kombinacja z powtórzeniami skoro zbiór przykładowo rumianków jest ograniczony.

Gouranga · Post autor: **Gouranga** » 31 sty 2015, o 14:45

rumianki między sobą nie są rozróżnialne i mamy podzielić 10 jednakowych elementów na 2 zbiory, dopuszczamy puste zbiory
na 2 zbiory dzieli się jednym separatorem więc zróbmy 11 pozycji (na 10 rumianków i 1 separator), teraz wybierzmy 10-elementowy zbiór tych miejsc z 11 gdzie wrzucimy rumianki, na resztę miejsce (1) separatory (można odwrotnie, 1 z 11 miejsc na separator, reszta na rumianki) stąd bierze się
\(\displaystyle{ {10+2-1 \choose 10}}\)
stosuje się też taki zapis, że \(\displaystyle{ r}\) elementów nierozróżnialnych do \(\displaystyle{ n}\) rozróżnialnych podzbiorów to:
\(\displaystyle{ \left< \begin{array}{c} r \\ n\end{array}\right> = {n+r-1 \choose n}}\)

collidus · Post autor: **collidus** » 31 sty 2015, o 16:05

A nie powinno być r rozróżnialnych elementów do n nierozróżnialnych podzbiorów?

Gouranga · Post autor: **Gouranga** » 31 sty 2015, o 16:17

nie, 10 rumianków czy 10 jabłek czy 10 niebieskich kul są nierozróżnialne między sobą, ale osoby są
jak chcemy np. rozłożyć 5 jabłek na 3 osoby to mamy 7 miejsc (5 jabłek + 2 separatory)
i patrzysz na takie układy:
JJJJJ|| - 1 osoba dostanie 5, inni nic
JJJ|J|J - 1 osoba 3, pozostali po 1
|JJ|JJJ - drugi 3, trzeci trzy itd.
dlatego wybieramy z tych miejsc tyle na jabłka