Witam.
Takie oto zadaniem. Bylbym wdzieczny za wskazowki.
Na ile sposob mozna umiescic 10 idenatycznych kulek w pudelkach o numerach od 1 do 6, tak zeby zadne pudelko nie bylo puste ?
Odp: 126
Kombinowalem w ten sposob,
\(\displaystyle{ \frac{{10 \choose 6}}{x}}\)
i rowniez w taki, ze:
mamy 10 kul i przypisujemy pudelka kulom czyli
o - 6 (6 mozliwosci wyboru ma kula pierwsza)
o - 6
o - 6
o - 6
o - 6
o - 5(od tego momentu kule musza wpasc do jeszcze pustych pudelek, tak zeby w kazdym cos bylo)
o - 4
o - 3
o - 2
o - 1
Umieszczanie kul w pudelkach
-
Gouranga
- Użytkownik
- Posty: 1588
- Rejestracja: 16 maja 2013, o 17:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Trójmiasto
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 245 razy
Umieszczanie kul w pudelkach
możemy użyć funkcji generującej
mamy 6 zmiennych (pudełka) i łącznie ma w nich być 10 kul, czyli tak jak byśmy rozwiązywali równanie:
\(\displaystyle{ x_1 + x_2 + \ldots + x_6 = 10}\)
przy ograniczeniu że każdy \(\displaystyle{ x \in \langle 1;5 \rangle \wedge x \in \NN}\)
(ograniczenie do 5 bierze się z tego, że w każdym pudle może być max 5 kul)
mamy więc taką funkcję:
\(\displaystyle{ \left(z^1 + z^2 + z^3 + z^4 + z^5\right)^6}\)
wykładniki odpowiadają ilości kul w danym pudełku natomiast wynikiem będzie współczynnik stojący przy \(\displaystyle{ z^{10}}\) po rozwinięciu tego (bo interesuje nas 10 kul)
można użyć programu np. Wolframa, który powie, że to jest równe:
\(\displaystyle{ z^{30}+6 z^{29}+21 z^{28}+56 z^{27}+126 z^{26}+246 z^{25}+426 z^{24}+666 z^{23}+951 z^{22}+1246 z^{21}+1506 z^{20}+1686 z^{19}+1751 z^{18}+1686 z^{17}+1506 z^{16}+1246 z^{15}+951 z^{14}+666 z^{13}+426 z^{12}+246 z^{11}+126 z^{10}+56 z^9+21 z^8+6 z^7+z^6}\)
i zauważamy, że występuje \(\displaystyle{ 126z^{10}}\)
albo możemy rozwinąć to ręcznie wypisując sobie tylko te składniki z \(\displaystyle{ z^{10}}\)
a nawet akceptowalnym rozwiązaniem jest podanie, że takich sposobów jest:
\(\displaystyle{ \left(z^1 + z^2 + z^3 + z^4 + z^5\right)^6\quad \left[z^{10}\right]}\)-- 26 sty 2015, o 20:30 --inną opcją jest pomyślenie o kulach i separatorach, ale to działa dopuszczając puste pudełka, więc najpierw wrzucamy do każdego pudełka po 1 kuli i zostaje nam 4 kule do 6 pudełek
mamy zatem:
\(\displaystyle{ \left<\begin{array}{c}6\\4\end{array}\right> = {6+4-1 \choose 6-1} = {9 \choose 5}=126}\)
bo podział do 6 pudełek daje nam 5 separatorów więc tworzymy sobie ciąg z 9 miejscami (na 4 kule i 5 separatorów), wybieramy miejsca na separatory a na resztę miejsc wrzucamy kule
mamy 6 zmiennych (pudełka) i łącznie ma w nich być 10 kul, czyli tak jak byśmy rozwiązywali równanie:
\(\displaystyle{ x_1 + x_2 + \ldots + x_6 = 10}\)
przy ograniczeniu że każdy \(\displaystyle{ x \in \langle 1;5 \rangle \wedge x \in \NN}\)
(ograniczenie do 5 bierze się z tego, że w każdym pudle może być max 5 kul)
mamy więc taką funkcję:
\(\displaystyle{ \left(z^1 + z^2 + z^3 + z^4 + z^5\right)^6}\)
wykładniki odpowiadają ilości kul w danym pudełku natomiast wynikiem będzie współczynnik stojący przy \(\displaystyle{ z^{10}}\) po rozwinięciu tego (bo interesuje nas 10 kul)
można użyć programu np. Wolframa, który powie, że to jest równe:
\(\displaystyle{ z^{30}+6 z^{29}+21 z^{28}+56 z^{27}+126 z^{26}+246 z^{25}+426 z^{24}+666 z^{23}+951 z^{22}+1246 z^{21}+1506 z^{20}+1686 z^{19}+1751 z^{18}+1686 z^{17}+1506 z^{16}+1246 z^{15}+951 z^{14}+666 z^{13}+426 z^{12}+246 z^{11}+126 z^{10}+56 z^9+21 z^8+6 z^7+z^6}\)
i zauważamy, że występuje \(\displaystyle{ 126z^{10}}\)
albo możemy rozwinąć to ręcznie wypisując sobie tylko te składniki z \(\displaystyle{ z^{10}}\)
a nawet akceptowalnym rozwiązaniem jest podanie, że takich sposobów jest:
\(\displaystyle{ \left(z^1 + z^2 + z^3 + z^4 + z^5\right)^6\quad \left[z^{10}\right]}\)-- 26 sty 2015, o 20:30 --inną opcją jest pomyślenie o kulach i separatorach, ale to działa dopuszczając puste pudełka, więc najpierw wrzucamy do każdego pudełka po 1 kuli i zostaje nam 4 kule do 6 pudełek
mamy zatem:
\(\displaystyle{ \left<\begin{array}{c}6\\4\end{array}\right> = {6+4-1 \choose 6-1} = {9 \choose 5}=126}\)
bo podział do 6 pudełek daje nam 5 separatorów więc tworzymy sobie ciąg z 9 miejscami (na 4 kule i 5 separatorów), wybieramy miejsca na separatory a na resztę miejsc wrzucamy kule