Odwrotna do funkcji tworzącej

[tukanik]

Cześc
Rozważmy:
\(\displaystyle{ D(x) = (x+1)(x^2 +1 )(x^3+1) ...}\)
D(x) generuje ilość podziałów n na składniki parami różne. Teraz chcemy wyznaczyć, co generuje funkcja odwrotna do D(x).
Niech \(\displaystyle{ a_n, b_n}\) będą odpowiednio ilością podziałów n na składniki parzyste, natomiast drugi ciąg niech będzie ilością podziałów n na parzyste.

Okazuje się, że funkcja odwrotna do D(x) generuje ciąg \(\displaystyle{ a_n - b_n}\)
Dlaczego i jak można do tego dojść?
pozdrawiam!

[Zordon]

Nie nazwałbym tego funkcją odwrotną. Raczej chodzi o to, że \(\displaystyle{ \frac{1}{D(x)}}\) jest funkcją tworzącą \(\displaystyle{ a_n-b_n}\).
Trzeba teraz rozwinąć \(\displaystyle{ (1+x^k)^{-1}}\) w szereg i zobaczyć co z tego wynika.

[tukanik]

dzięki