Równanie rekurencyjne

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
timati
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 21 sty 2015, o 18:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

Równanie rekurencyjne

Post autor: timati »

Witam mam do zrobienia takie równanie:
\(\displaystyle{ A_{0} = 9}\)
\(\displaystyle{ 8A_{n-1} -1}\) dla n>0

I nie wiem jak sobie z nim poradzić. z równaniem gdzie był podany wyraz 0 i 1 sobie poradziłem, ale z tym nie bardzo..

Trzeba to obliczyć i na postawie tego jeszcze określić czy jest malejący czy rosnąć.

Bardzo proszę o pomoc.
Ostatnio zmieniony 25 sty 2015, o 21:19 przez timati, łącznie zmieniany 2 razy.
Gouranga
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1563
Rejestracja: 16 maja 2013, o 17:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Trójmiasto
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 243 razy

Równanie rekurencyjne

Post autor: Gouranga »

popraw zapis bo nie wiadomo co jest czym
timati
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 21 sty 2015, o 18:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

Równanie rekurencyjne

Post autor: timati »

Dobrze teraz ?
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Równanie rekurencyjne

Post autor: Mariusz M »

Gdzie jest to równanie

Równanie może wyglądać tak

\(\displaystyle{ a_{0} = 9}\)
\(\displaystyle{ a_{n}=8a_{n-1} -1}\) dla n>0

Jednorodne byłoby ciągiem geometrycznym
a tak dochodzi jeszcze wielomian

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}=A\left( x\right)\\
\sum_{n=1}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}=8\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n-1}x^{n}}- \sum_{n=1}^{ \infty }{x^{n}} \\
\sum_{n=1}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}=8x\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n-1}x^{n-1}}-\sum_{n=1}^{ \infty }{x^{n}}\\
\sum_{n=1}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}=8x\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}-\sum_{n=1}^{ \infty }{x^{n}}\\
\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}-9=8x\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}-\left( \frac{1}{1-x} -1\right) \\
A\left( x\right)-9=8xA\left( x\right) -\frac{1}{1-x}+1\\
A\left( x\right)\left( 1-8x\right)=10-\frac{1}{1-x}\\
A\left( x\right)\left( 1-8x\right)=\frac{10-10x-1}{1-x}\\
A\left( x\right)\left( 1-8x\right)=\frac{9-10x}{1-x}\\
A\left( x\right)= \frac{9-10x}{\left( 1-8x\right)\left( 1-x\right) } \\
\frac{A}{1-8x}+\frac{B}{1-x}=\frac{9-10x}{\left( 1-8x\right)\left( 1-x\right) }\\
A\left( 1-x\right)+B\left( 1-8x\right)=9-10x\\
\begin{cases} -A-8B=-10 \\ A+B=9\end{cases} \\
\begin{cases} -7B=-1 \\ A=9-B \end{cases} \\
\begin{cases} B=\frac{1}{7} \\ A=\frac{62}{7} \end{cases} \\
=\frac{62}{7} \cdot \frac{1}{1-8x}+\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{1-x}\\
=\frac{62}{7} \sum_{n=0}^{ \infty }{8^nx^n}+ \frac{1}{7} \sum_{n=0}^{ \infty }{ x^{n} }\\
a_{n}=\frac{62}{7} \cdot 8^n+\frac{1}{7}\\}\)


Zbadaj znak różnicy \(\displaystyle{ a_{n+1}-a_{n}}\)
ODPOWIEDZ