Trudne zadania z kombinatoryki. Wkładanie kulek.

[GluEEE]

Mamy \(\displaystyle{ k}\) ponumerowanych kul w \(\displaystyle{ n}\) ponumerowanych komórkach.
Na ile sposobów można te kule rozmieścić, aby:
a) w pierwszej komórce była co najmniej jedna kula: \(\displaystyle{ n^k-(n-1)^k}\) ?
b) dokładnie trzy komórki były zajęte
c) w pierwszej komórce była co najmniej jedna kula i w drugiej komórce była co najmniej jedna kula i w trzeciej komórce była co najmniej jedna kula


Mamy 19 ponumerowanych kul, 13 ponumerowanych komórek.
Na ile sposobów można je rozdzielić, aby w pierwszej komórce była pierwsza kula?
\(\displaystyle{ 13^{18}}\)?

[arek1357]

Pierwsze wygląda na dobre.
Drugie to:

\(\displaystyle{ {n \choose 3} \cdot S(k,3)}\)

Czyli najpierw wybierasz trzy komórki a potem robisz suriekcje \(\displaystyle{ k}\) - kul na trzy komórki.

Trzecie:

\(\displaystyle{ \sum_{i=3}^{k}S(i,3)(n-3)^{k-i}}\)

Czyli najpierw robisz suriekcje \(\displaystyle{ i}\) - kul do trzech komórek a potem pozostałe kule upychasz do
pozostałych komórek!

Ostatnia sprawa wygląda na dobrze!