Rozwiązanie ogólne równania różnicowego

[Anielka1234567]

Wykaż, że rozwiązanie ogólne równania różnicowego postaci:
\(\displaystyle{ y(n)=C \cdot \prod_{i=n _{0} }^{n-1}a(i) + \sum_{j=n _{0} }^{n-1} \left( \prod_{i=j+1}^{n-1}a(i) \right) g(j)}\)
Jest równoważne rozwiązaniu:
\(\displaystyle{ y(n)= \Delta ^{-1} \left( \frac{g(n)}{ \prod_{i=n _{0} }^{n} a(i)} \right) \cdot \prod_{i=n _{0} }^{n-1} a(i)}\)
Należy skorzystać z twierdzenia:
\(\displaystyle{ \Delta ^{-1}f(n)= \sum_{i=n _{0} }^{n-1} f(i)}\)

[Everard]

W twoim twierdzeniu powinno chyba być
\(\displaystyle{ \Delta ^{-1}f(n)= \sum_{i=n _{0} }^{n-1} f(i)+C.}\)

Stosując je do wyrażenia

\(\displaystyle{ f(n)=\frac{g(n)}{ \prod_{i=n _{0} }^{n} a(i)}}\)
otrzymujemy w drugim równaniu
\(\displaystyle{ y(n)=C \cdot \prod_{i=n _{0} }^{n-1}a(i) + \sum_{j=n _{0} }^{n-1} \left( \prod_{i=j+1}^{n-1}a(i) \right) g(j),}\)
czyli dokładnie pierwsze równanie.

O coś takiego chodzi?

[Anielka1234567]

To znaczy tak powinno wyjść ale nie mam pojęcia jak to rozpisać krok po kroku żeby dojść do tego wyniku

[Everard]

\(\displaystyle{ f(n)=\frac{g(n)}{ \prod_{i=n _{0} }^{n} a(i)}}\)
\(\displaystyle{ \Delta^{-1}f(n)=\sum_{i=n_0}^{n-1}f(i)+C=\sum_{i=n_0}^{n-1}\frac{g(i)}{ \prod_{j=n _{0} }^{i} a(j)}+C}\)
\(\displaystyle{ y=...}\)
Coś widać powoli?

[Anielka1234567]

Dziękuję