\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{0}=1, a_{1}=-12 \\ a_{n}= a_{n-1}+6 a_{n-2} \end{cases}}\)
Wykazać,że \(\displaystyle{ a_{n}<0}\). Nie wiem jak się za to zabrać.
Obliczyłem rekurencje,wyszło \(\displaystyle{ \frac{16}{7} \cdot (-3^{n}) - \frac{9}{7} \cdot 4^{n}}\)
Wykazać, że wyrazy ciągu zadanego rekurencją są ujemne
Wykazać, że wyrazy ciągu zadanego rekurencją są ujemne
Ostatnio zmieniony 19 sty 2015, o 17:12 przez yorgin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa niegramatycznej nazwy tematu, w której również znalazły się symbole matematyczne.
Powód: Poprawa niegramatycznej nazwy tematu, w której również znalazły się symbole matematyczne.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Wykazać, że wyrazy ciągu zadanego rekurencją są ujemne
Powinno być trochę inaczej:
równanie charakterystyczne ma postać \(\displaystyle{ t^{2}-t-6=0}\), jego pierwiastkami są \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ -2}\), a zatem rozwiązanie jest postaci \(\displaystyle{ A3^{n}+B(-2)^{n}}\). Podstawiając do tego \(\displaystyle{ a_{0}}\) i \(\displaystyle{ a_{1}}\), dostajemy układ dwóch równań liniowych, którego rozwiązanie to \(\displaystyle{ A= \frac{2}{3} , B= \frac{1}{3}}\)
(albo jakieś inne, dzisiaj słabo odejmuję, bo się nie wyspałem; w każdym razie układ równań ma taką postać:\(\displaystyle{ \begin{cases} A+B=1\\ 3A-2B=-12 \end{cases}}\)
Swoją drogą, autorze wątku, nie musisz podawać zwartej postaci \(\displaystyle{ a_{n}}\), by zrobić to zadanie, wydaje mi się, że wygodniejsza byłaby tutaj indukcja po \(\displaystyle{ n}\).-- 19 sty 2015, o 16:05 --tak zdecydowanie inne, winno być \(\displaystyle{ A=-2}\), \(\displaystyle{ B=3}\)
równanie charakterystyczne ma postać \(\displaystyle{ t^{2}-t-6=0}\), jego pierwiastkami są \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ -2}\), a zatem rozwiązanie jest postaci \(\displaystyle{ A3^{n}+B(-2)^{n}}\). Podstawiając do tego \(\displaystyle{ a_{0}}\) i \(\displaystyle{ a_{1}}\), dostajemy układ dwóch równań liniowych, którego rozwiązanie to \(\displaystyle{ A= \frac{2}{3} , B= \frac{1}{3}}\)
(albo jakieś inne, dzisiaj słabo odejmuję, bo się nie wyspałem; w każdym razie układ równań ma taką postać:\(\displaystyle{ \begin{cases} A+B=1\\ 3A-2B=-12 \end{cases}}\)
Swoją drogą, autorze wątku, nie musisz podawać zwartej postaci \(\displaystyle{ a_{n}}\), by zrobić to zadanie, wydaje mi się, że wygodniejsza byłaby tutaj indukcja po \(\displaystyle{ n}\).-- 19 sty 2015, o 16:05 --tak zdecydowanie inne, winno być \(\displaystyle{ A=-2}\), \(\displaystyle{ B=3}\)
Wykazać, że wyrazy ciągu zadanego rekurencją są ujemne
O kurcze faktycznie,dzięki źle obliczyłem rekurencje:) Mógłbyś rozwinąć myśl indukcja po n bo nie bardzo wiem o co chodzi ;s
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Wykazać, że wyrazy ciągu zadanego rekurencją są ujemne
Pokażemy indukcyjnie, że dla każdego \(\displaystyle{ n \ge 1}\) jest \(\displaystyle{ a_{n} \le 0}\).
Dla \(\displaystyle{ n=1}\) się zgadza, bo wartość \(\displaystyle{ a_{1}}\) mamy daną w zadaniu. Dla \(\displaystyle{ n=2}\) mamy \(\displaystyle{ a_{2}=a_{1}+6a_{0}=-6<0}\), czyli też się zgadza.
Teraz załóżmy, że dla dowolnie ustalonego \(\displaystyle{ n \in \NN^{+}}\) jest \(\displaystyle{ a_{n}<0 \wedge a_{n+1}<0}\). Pokażemy, że stąd wynika, iż \(\displaystyle{ a_{n+2}<0}\):
korzystając ze wzoru rekurencyjnego z zadania, z \(\displaystyle{ n:=n+2}\), mamy \(\displaystyle{ a _{n+2}=6a_{n+1}+a_{n}}\), a z poczynionych przez nas założeń jest \(\displaystyle{ a_{n+1}<0}\) i \(\displaystyle{ a_{n}<0}\), więc również \(\displaystyle{ 6a_{n+1}+a_{n}<a_{n}<0}\), co kończy dowód.
Skoro więc mamy prawdziwość\(\displaystyle{ T(1)}\) oraz \(\displaystyle{ T(2)}\) i z prawdziwości \(\displaystyle{ T(k)}\) i \(\displaystyle{ T(k+1)}\) wynika prawdziwość T(k+2) dla \(\displaystyle{ k}\) całkowitych dodatnich, to dla wszystkich \(\displaystyle{ n \ge 1}\) jest \(\displaystyle{ a_{n}<0}\), co było do udowodnienia.
Jak widzisz, nic tu nie trzeba liczyć.
Dla \(\displaystyle{ n=1}\) się zgadza, bo wartość \(\displaystyle{ a_{1}}\) mamy daną w zadaniu. Dla \(\displaystyle{ n=2}\) mamy \(\displaystyle{ a_{2}=a_{1}+6a_{0}=-6<0}\), czyli też się zgadza.
Teraz załóżmy, że dla dowolnie ustalonego \(\displaystyle{ n \in \NN^{+}}\) jest \(\displaystyle{ a_{n}<0 \wedge a_{n+1}<0}\). Pokażemy, że stąd wynika, iż \(\displaystyle{ a_{n+2}<0}\):
korzystając ze wzoru rekurencyjnego z zadania, z \(\displaystyle{ n:=n+2}\), mamy \(\displaystyle{ a _{n+2}=6a_{n+1}+a_{n}}\), a z poczynionych przez nas założeń jest \(\displaystyle{ a_{n+1}<0}\) i \(\displaystyle{ a_{n}<0}\), więc również \(\displaystyle{ 6a_{n+1}+a_{n}<a_{n}<0}\), co kończy dowód.
Skoro więc mamy prawdziwość\(\displaystyle{ T(1)}\) oraz \(\displaystyle{ T(2)}\) i z prawdziwości \(\displaystyle{ T(k)}\) i \(\displaystyle{ T(k+1)}\) wynika prawdziwość T(k+2) dla \(\displaystyle{ k}\) całkowitych dodatnich, to dla wszystkich \(\displaystyle{ n \ge 1}\) jest \(\displaystyle{ a_{n}<0}\), co było do udowodnienia.
Jak widzisz, nic tu nie trzeba liczyć.
Wykazać, że wyrazy ciągu zadanego rekurencją są ujemne
Eh,właśnie takie teoretyczne dowody bez żadnego liczenia to dla mnie największy koszmar,dzięki za pomoc przeanalizuje to sobie