Wykazać, że wyrazy ciągu zadanego rekurencją są ujemne

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
mck00
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 11 sty 2015, o 00:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Wykazać, że wyrazy ciągu zadanego rekurencją są ujemne

Post autor: mck00 »

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{0}=1, a_{1}=-12 \\ a_{n}= a_{n-1}+6 a_{n-2} \end{cases}}\)
Wykazać,że \(\displaystyle{ a_{n}<0}\). Nie wiem jak się za to zabrać.
Obliczyłem rekurencje,wyszło \(\displaystyle{ \frac{16}{7} \cdot (-3^{n}) - \frac{9}{7} \cdot 4^{n}}\)
Ostatnio zmieniony 19 sty 2015, o 17:12 przez yorgin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa niegramatycznej nazwy tematu, w której również znalazły się symbole matematyczne.
Awatar użytkownika
Medea 2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2491
Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
Płeć: Kobieta
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 479 razy

Wykazać, że wyrazy ciągu zadanego rekurencją są ujemne

Post autor: Medea 2 »

To coś dziwnie wyszło, bo \(\displaystyle{ a_2 = -288/7 = -(41 \frac{1}{7})}\) nie jest całkowite.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Wykazać, że wyrazy ciągu zadanego rekurencją są ujemne

Post autor: Premislav »

Powinno być trochę inaczej:
równanie charakterystyczne ma postać \(\displaystyle{ t^{2}-t-6=0}\), jego pierwiastkami są \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ -2}\), a zatem rozwiązanie jest postaci \(\displaystyle{ A3^{n}+B(-2)^{n}}\). Podstawiając do tego \(\displaystyle{ a_{0}}\) i \(\displaystyle{ a_{1}}\), dostajemy układ dwóch równań liniowych, którego rozwiązanie to \(\displaystyle{ A= \frac{2}{3} , B= \frac{1}{3}}\)
(albo jakieś inne, dzisiaj słabo odejmuję, bo się nie wyspałem; w każdym razie układ równań ma taką postać:\(\displaystyle{ \begin{cases} A+B=1\\ 3A-2B=-12 \end{cases}}\)
Swoją drogą, autorze wątku, nie musisz podawać zwartej postaci \(\displaystyle{ a_{n}}\), by zrobić to zadanie, wydaje mi się, że wygodniejsza byłaby tutaj indukcja po \(\displaystyle{ n}\).-- 19 sty 2015, o 16:05 --tak zdecydowanie inne, winno być \(\displaystyle{ A=-2}\), \(\displaystyle{ B=3}\)
mck00
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 11 sty 2015, o 00:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Wykazać, że wyrazy ciągu zadanego rekurencją są ujemne

Post autor: mck00 »

O kurcze faktycznie,dzięki źle obliczyłem rekurencje:) Mógłbyś rozwinąć myśl indukcja po n bo nie bardzo wiem o co chodzi ;s
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Wykazać, że wyrazy ciągu zadanego rekurencją są ujemne

Post autor: Premislav »

Pokażemy indukcyjnie, że dla każdego \(\displaystyle{ n \ge 1}\) jest \(\displaystyle{ a_{n} \le 0}\).
Dla \(\displaystyle{ n=1}\) się zgadza, bo wartość \(\displaystyle{ a_{1}}\) mamy daną w zadaniu. Dla \(\displaystyle{ n=2}\) mamy \(\displaystyle{ a_{2}=a_{1}+6a_{0}=-6<0}\), czyli też się zgadza.
Teraz załóżmy, że dla dowolnie ustalonego \(\displaystyle{ n \in \NN^{+}}\) jest \(\displaystyle{ a_{n}<0 \wedge a_{n+1}<0}\). Pokażemy, że stąd wynika, iż \(\displaystyle{ a_{n+2}<0}\):
korzystając ze wzoru rekurencyjnego z zadania, z \(\displaystyle{ n:=n+2}\), mamy \(\displaystyle{ a _{n+2}=6a_{n+1}+a_{n}}\), a z poczynionych przez nas założeń jest \(\displaystyle{ a_{n+1}<0}\) i \(\displaystyle{ a_{n}<0}\), więc również \(\displaystyle{ 6a_{n+1}+a_{n}<a_{n}<0}\), co kończy dowód.
Skoro więc mamy prawdziwość\(\displaystyle{ T(1)}\) oraz \(\displaystyle{ T(2)}\) i z prawdziwości \(\displaystyle{ T(k)}\) i \(\displaystyle{ T(k+1)}\) wynika prawdziwość T(k+2) dla \(\displaystyle{ k}\) całkowitych dodatnich, to dla wszystkich \(\displaystyle{ n \ge 1}\) jest \(\displaystyle{ a_{n}<0}\), co było do udowodnienia.
Jak widzisz, nic tu nie trzeba liczyć.
mck00
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 11 sty 2015, o 00:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Wykazać, że wyrazy ciągu zadanego rekurencją są ujemne

Post autor: mck00 »

Eh,właśnie takie teoretyczne dowody bez żadnego liczenia to dla mnie największy koszmar,dzięki za pomoc przeanalizuje to sobie
ODPOWIEDZ