Rekurencja, delta mniejsza od zera

[combinev2]

Witam, czy dobrze rozwiązałem zadanie? Jbc to jestem w trakcie nauki liczb zespolonych.

\(\displaystyle{ a_{0} = 0, a_{1} = 1, a _{n} = -a _{n-1} - a _{n-2}}\)

Równanie charakterystyczne:

\(\displaystyle{ x^{2} + x + 1 = 0}\)

\(\displaystyle{ \Delta = -3}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = \sqrt{-3} = \sqrt{ \left( -1 \right) \cdot 3} = \sqrt{3}i}\)


\(\displaystyle{ x_{1} = \frac{-1 + \sqrt{3}i }{2} = - \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i}\)

\(\displaystyle{ x_{2} = \frac{-1 - \sqrt{3}i }{2} = - \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2}i}\)

Podstawiam pod wzór:

\(\displaystyle{ a_{n} = A \cdot \left( - \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i \right) ^{n} + B \cdot \left( - \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2}i \right) ^{n}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{0} = A + B \\ a_{1} = A \cdot \left( - \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i \right) + B \cdot \left( - \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2}i \right) \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 = A + B \\ 1 = \frac{A}{2} + \frac{ A\sqrt{3} }{2}i - \frac{B}{2} - \frac{ B\sqrt{3} }{2}i \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 = A + B \\ 2 = A + A\sqrt{3}i - B - B \sqrt{3}i \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 = A + B \\ 2 = \sqrt{3}i \left( A-B \right) -A-B \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 = A + B \\ 2 = \sqrt{3}i \left( A-B \right) \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 = A + B \\ \frac{2}{\sqrt{3}i} = A-B \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 = A + B \\ \frac{2\sqrt{3}}{3i} = A-B \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ A = \frac{ \sqrt{3} }{3i}}\), \(\displaystyle{ B = - \frac{ \sqrt{3} }{3i}}\)

Rozwiązanie:

\(\displaystyle{ a_{n} = \left( \frac{ \sqrt{3} }{3i} \right) \cdot \left( - \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i \right) ^{n} + \left( - \frac{ \sqrt{3} }{3i} \right) \cdot \left( - \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2}i \right) ^{n}}\)

Czuje, że jest źle na 100%, ponieważ jest to moje pierwsze podejście do rozwiązania równania rekurencyjnego przy delcie mniejszej od 0.

[Mariusz M]

Możesz jeszcze przejść na postać trygonometryczną i powymnażać to co dostałeś

\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 = A + B \\ 1 = \frac{A}{2} + \frac{ A\sqrt{3} }{2}i - \frac{B}{2} - \frac{ B\sqrt{3} }{2}i \end{cases}}\)

Z minusa zrobił ci się plus

[combinev2]

Mój błąd... nie zwróciłem uwagi na to. Ale jeśli ogólnie sposób rozwiązywania jest dobry to już jest jakiś tam krok na przód

Spróbuję poprawić te równanie jak najszybciej

[Mariusz M]

Można tak rozwiązywać choć ja rozwiązywałbym inaczej
Metoda z równaniem charakterystycznym tylko z pozoru wydaje się łatwa
Odpowiedz sobie na pytanie co gdyby pierwiastek był wielokrotny
Jak znajdowałbyś rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego gdyby takowe się pojawiło