Funkcja tworząca

[Valier]

Cześć
Mam takie zadanie: Znajdź ciąg, którego funkcja tworząca jest równa:
\(\displaystyle{ f \left( x \right) = \frac{x}{1-x}}\)

Moje działania:
\(\displaystyle{ f \left( x \right) = \frac{1}{1-x} = - \left( \frac{1-x}{1-x} - \frac{1}{1-x} \right) = -1 + \frac{1}{1-x}}\)

I tutaj pojawia się problem, ja bym to zapisał jako:
\(\displaystyle{ f \left( x \right) = -1 + \sum_{i = 0}^{ \infty } x^i}\)

Ale co dalej?

Edit: Może od razu zapytam o kolejny przykład:
\(\displaystyle{ f \left( x \right) = \frac{1}{1+x^2}}\)

[waliant]

\(\displaystyle{ \frac{1}{1+x^2}= \frac{1}{1-(-x^2)}}\)

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ \frac{1}{1+x^2}}\)
Ja tutaj pobawiłbym się zespolonym rozkładem

\(\displaystyle{ \frac{x}{1-x}}\)

Tutaj nie lepiej zapisać jako

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }{x^{n+1}}}\)

[Valier]

\(\displaystyle{ \frac{1}{1+x^2}}\)
Ja tutaj pobawiłbym się zespolonym rozkładem

Na ćwiczeniach mieliśmy chyba właśnie zamianę na \(\displaystyle{ \frac{1}{1-(-x^2)}}\)
Ale wtedy tak?
\(\displaystyle{ \frac{1}{1-(-x^2)} = \sum_{i=0}^{ \infty } (-x^2)^n = \sum_{i=0}^{ \infty } (-1)^n * x ^{2n}}\)
I jaka będzie interpretacja tego? Istnieją tylko wyrazy o parzystych numerach? \(\displaystyle{ a_{0} = 1, a_{n} = -a_{n-2}, n>0}\), tak?

\(\displaystyle{ \frac{x}{1-x}}\)

Tutaj nie lepiej zapisać jako

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }{x^{n+1}}}\)

O. Ale jak to wtedy zinterpetować w kontekście ciągu rekurencyjnego?

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ f \left( x \right) = \frac{1}{1+x^2}\\
\frac{1}{1+x^2}=\frac{A}{1-ix}+\frac{B}{1+ix}\\
\frac{1}{1+x^2}=\frac{A\left( 1+ix\right)+B\left( 1-ix\right) }{1+x^2}\\
1=A\left( 1+ix\right)+B\left( 1-ix\right)\\
\begin{cases} A+B=1\\ \left( A-B\right)i=0 \end{cases}\\
\begin{cases} A+B=1\\ \left( A-B\right)=0 \end{cases}\\
\begin{cases} 2A=1\\ B=A \end{cases}\\
\begin{cases} A=\frac{1}{2}\\ B=\frac{1}{2} \end{cases}\\
\frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1-ix}+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1-\left( -ix\right)^{n} }\\
f_{n}=\frac{1}{2}i^{n}+ \frac{1}{2}\left( -i\right)^{n}\\
f_{n}=\frac{1}{2}\left( \cos{\left( n \cdot \frac{\pi}{2} \right) }+i\sin{\left( n \cdot \frac{\pi}{2} \right) }\right)+\frac{1}{2}\left( \cos{\left( n \cdot \frac{\pi}{2} \right) }-i\sin{\left( n \cdot \frac{\pi}{2} \right) }\right) \\
f_{n}=\cos{\left(n \cdot \frac{\pi}{2} \right) }\\}\)

Dla tej pierwszej funkcji nie widzę nic ciekawszego niż funkcja signum dla naturalnych

[a4karo]

\(\displaystyle{ \frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{1-(-x^2)}=1-x^2+x^4-x^6+x^8+\dots}\)