Równość do udowodnienia.

[alchem]

\(\displaystyle{ \sum_{3}^{2015} {2015\choose n-2}= 2015 \cdot 2014 \cdot 2^{2013}}\)

[szw1710]

Skorzystaj ze wzoru dwumianowego Newtona. Zmień indeks sumowania. Skoro \(\displaystyle{ 3\le n\le 2015}\), to \(\displaystyle{ 1\le n-2\le 2013}\) i masz \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{2013}\binom{2015}{i}}\). Zauważ, że wzór Newtona startuje od \(\displaystyle{ i=0}\). Skorzystaj z tych uwag. Oczywiście korzystamy w ten sposób, że \(\displaystyle{ 2=1+1}\) i piszemy ten wzór dla odpowiedniej potęgi.

[alchem]

a co źle robie tutaj źle, że nie chce mi wyjść? robię indukcją
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n+1} k(n+1-k)={n+2\choose 3}}\)
Krok 2.
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n+1} k(n-2-k={n+3\choose 3}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}(n+2-k + (n+1)(n+2-n-1)={n+2\choose 3} +(n+1)}\) i licząc dalej nie dostaję prawej strony..

[szw1710]

Zrobiłbym to inaczej. Przekształć nawias do postaci \(\displaystyle{ k(n+1)-k^2}\) i kolejno skorzystaj ze wzorów na sumy \(\displaystyle{ n+1}\) kolejnych początkowych liczb naturalnych oraz odpowiednio ich kwadratów. Te sumy są powszechnie znane.