[Teoria liczb] Uporządkowane sumy ustalonej długości.

[emme3663]

Witam .
Proszę o wskazówki i pomoc w zrozumieniu zadania .
Oznaczenia potrzebne do zadań :
\(\displaystyle{ p(n,k)}\)-liczba wszystkich przedstawień liczby n w postaci sumy k składników . Gdzie przedstawienie typu \(\displaystyle{ 5=4+1}\)jest identyczne co przedstawienie \(\displaystyle{ 5=1+4}\). składniki są \(\displaystyle{ >0}\).
Są dwa zadania . Pierwsze rozwiązałam ale będzie potrzebne w kolejnym więc napiszę.

Zad1.Dla każdej liczby naturalnej n zachodzi równość:
\(\displaystyle{ p(n,2)= \left[ \frac{n}{2} \right]}\)
Rozwiązanie : jeśli n jest parzyste to istnieje dokładnie \(\displaystyle{ \frac{n}{2}}\) przedstawień liczby n w postaci sumy dwóch liczb naturalnych ,a jeśli n jest nieparzyste to takich przedstawień jest dokładnie \(\displaystyle{ \frac{n-1}{2}}\) przy założeniu ze przedstawienia które napisałam przed zadaniem uznajemy za identyczne.

Zad2.( z którym mam problem)
Dla każdej liczby naturalnej n zachodzi równość:
\(\displaystyle{ p(n,3)= \left[\frac{n ^{2}+6 }{12} \right]}\)
napisze co wiem na ten temat, może komuś uda sie to dokończyć:
wiemy , że \(\displaystyle{ p(n,2)= \left[\frac{n}{2} \right]}\) .
Można zauważyć , że\(\displaystyle{ p(n,3)=p(n-1,2)+p(n-2,2)-1+p(n-3,2)-2+...+p(n-\left[ \frac{n}{3} \right] ,2) -(\left[ \frac{n}{3} \right] -1 )}\)
ponieważ dzieląc wszystkie rozkłady postaci :
\(\displaystyle{ n=m+l+k}\) gdzie \(\displaystyle{ k \le l \le m}\)
na klasy według składnika k , otrzymujemy w katej klasie \(\displaystyle{ p(n-k,2)-(k-1)}\)rozkładów.

stąd
\(\displaystyle{ p(n,3) = \left[ \frac{n-1}{2} \right] +\left[ \frac{n-2}{2} \right] +...+\left[ \frac{n-\left[ \frac{n}{3} \right] }{2} \right] - \frac{1}{2}\left[ \frac{n}{3} \right]\left( \left[ \frac{n}{3} \right] -1 \right)}\)
Czytając dowód sierpińskiego jest napisane :
Badając teraz kolejno \(\displaystyle{ 6}\) przypadków \(\displaystyle{ n=6k,6k+1,....6k+5}\) sprawdzamy w każdym z nich wzór \(\displaystyle{ p(n,3)= \left[\frac{n ^{2}+6 }{12} \right]}\) .

Więc pytam . Czemu 6 przypadków a nie wystarczy 3 ? i jak to ładnie jasno skończyć ? pomóżcie

[Ponewor]

Spróbuj zrobić trzy przypadki i sam się przekonasz czemu nie wystarczy - mianownikach jest też dwójka, więc parzystość też nas interesuje.
Podstawiaj kolejno za \(\displaystyle{ n}\) odpowiednie warianty i policz wartości obu stron.

[emme3663]

A możesz pokazać jak wyliczyć np dla 6k+1?-- 13 sty 2015, o 23:22 --dla \(\displaystyle{ n= 6k+1}\) wyszło mi tak :

\(\displaystyle{ p(6k+1,3) = \left[ \frac{6k+1-1}{2} \right] +\left[ \frac{6k+1-2}{2} \right] +...+\left[ \frac{6k+1-\left[ \frac{6k+1}{3} \right] }{2} \right] - \frac{1}{2}\left[ \frac{6k+1}{3} \right]\left( \left[ \frac{6k+1}{3} \right] -1 \right) = \left[ \frac{6k}{2} \right] +\left[ \frac{6k-1}{2} \right] +...+\left[ \frac{6k+1-2k }{2} \right] - \frac{1}{2} \cdot 2k\left( 2k -1 )=}\)
\(\displaystyle{ = 3k +(3k-1)+ (3k-1) + (3k-2) +...+(3k-k)- k \cdot ( 2k -1 )}\)
I teraz policzylam to jako podwójną sumę ( bo wyrazy się powtarzają ) od \(\displaystyle{ 3k}\) do \(\displaystyle{ 3k-k}\) i wyrazów jest \(\displaystyle{ (k+1)}\)
otrzymałam \(\displaystyle{ 2 \cdot \frac{3k+3k-k}{2} \cdot (k+1) - 2k ^{2} +k = 2 \cdot \frac{5k(k+1)}{2}- 2k ^{2} +k= 5k ^{2}+5k-2k ^{2} +k = 3k^{2}+6k}\)

A z drugiej strony :

\(\displaystyle{ p(6k+1,3)= \left[\frac{(6k+1) ^{2}+6 }{12} \right] = \left[\frac{36k ^{2}+12k+7 }{12}\right] = 3k ^{2}+k}\)

czemu te strony nie wyszly mi rowne ??

[Ponewor]

Wybacz na wstępie dwie rzeczy - męską formę zamiast żeńskiej wcześniej, oraz brak polskich znaków, poprawię jak będę na znośniejszym sprzęcie.
Źle policzyłaś tą sumę. Składniki od \(\displaystyle{ 2k+1}\) do \(\displaystyle{ 3k-1}\) pojawiają się dwa razy, zaś \(\displaystyle{ 2k}\) i \(\displaystyle{ 3k}\) tylko raz.
edit polskie znaki już dodałem