Znajdź wzór jawny niejednorodnego liniowego równania rekuren

[Oleszko12]

\(\displaystyle{ a_{n+1}-2a_{n}=n^{2}+n+2}\), \(\displaystyle{ a_{0}=0}\)

Nie wiem jakie wybrać \(\displaystyle{ a_{n}^{\left( 2\right)}}\)

dla \(\displaystyle{ a_{n}^{\left( 1\right)}}\)

\(\displaystyle{ a_{n+1}=x^1}\), \(\displaystyle{ a_{n}=x^{0}}\)

czyli \(\displaystyle{ x-2=0 \Rightarrow x=2}\)

więc \(\displaystyle{ a_{n}^{\left( 1\right)}=2^{n} \cdot c_{1}}\)

dla \(\displaystyle{ a_{n}^{\left( 2\right)}}\) i tutaj nie wiem czy

mam wziąć do podstawienia pod nasze zadane równanie
1. \(\displaystyle{ a_{n}^{\left( 2\right)}=An^{2}+Bn+C}\)
czy
2. \(\displaystyle{ a_{n}^{\left( 2\right)}=n^{0+1}\left( An^{2}+Bn+C\right)}\) .

Analizowałam podobny przykład mianowicie :
\(\displaystyle{ a_{n+1}-a_{n}=3n}\)
\(\displaystyle{ a_{n}^{\left( 1\right)}=1^{n} \cdot c_{1}}\)
\(\displaystyle{ a_{n}^{\left( 2\right)}=n^{0+1}\left( An+B\right)}\) .

i na intuicję wybrała bym tą pierwszą wersję.

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ a_{n+1}-2a_{n}=n^{2}+n+2}\), \(\displaystyle{ a_{0}=0}\)

\(\displaystyle{ a_{n}-2a_{n-1}=n^{2}-2n+1+n-1+2\\
a_{n}-2a_{n-1}=n^2-n+2\\
A\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}\\
\sum_{n=1}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}-\sum_{n=1}^{ \infty }{a_{n-1}x^n}=\sum_{n=1}^{ \infty }{\left( n+2\right)\left( n+1\right)x^{n}}- \sum_{n=1}^{ \infty }{4\left( n+1\right)x^n}+ \sum_{n=1}^{ \infty }{4x^{n}}\\
\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}-2x\sum_{n=1}^{ \infty }{a_{n-1}x^{n-1}}-2+4-4+\sum_{n=0}^{ \infty }{\left( n+2\right)\left( n+1\right)x^{n}}- \sum_{n=0}^{ \infty }{4\left( n+1\right)x^n}+\sum_{n=0}^{ \infty }{4x^{n}}\\
\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}-2x\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}-2+\sum_{n=0}^{ \infty }{\left( n+2\right)\left( n+1\right)x^{n}}- \sum_{n=0}^{ \infty }{4\left( n+1\right)x^n}+\sum_{n=0}^{ \infty }{4x^{n}}\\
A\left( x\right)-2xA\left( x\right)=-2+\frac{2}{\left( 1-x\right)^3 }-\frac{4}{\left( 1-x\right)^2 }+ \frac{4}{\left( 1-x\right) }\\
A\left( x\right)\left( 1-2x\right)=-2+\frac{2}{\left( 1-x\right)^3 }-\frac{4}{\left( 1-x\right)^2 }+ \frac{4}{\left( 1-x\right) }\\
A\left( x\right)=-\frac{2}{\left( 1-2x\right) } +\frac{2}{\left( 1-x\right)^3\left( 1-2x\right) }-\frac{4}{\left( 1-x\right)^2\left( 1-2x\right) }+ \frac{4}{\left( 1-x\right)\left( 1-2x\right) }}\)

Teraz już chyba widzisz jak należy przewidywać

Oleszko12, funkcje tworzące może są bardziej czasochłonne ale więcej widać gdy rozwiązujesz równania tą metodą

[Oleszko12]

Rozumiem mariuszm ale na kolokwium mam dla niejednostajnych nie obliczać z f-cji tworzących. Wiem, że fajnie się rozwiązuje z f-cji tworzących ale to nie mój wymysł. (Mamy rozwiązywać tak jak na ćwiczeniach zostało nam to zaprezentowane). Żal d* ściska.

[Mariusz M]

Ale widzisz teraz jak należy przewidywać ... i dlaczego ?
Ja na lekcji miałem wprowadzone funkcje tworzące a dopiero później
równanie charakterystyczne . Ograniczyli się jednak tylko do równania jednorodnego

Gdyby jedynka była pierwiastkiem równania charakterystycznego to wyznaczając funkcję tworzącą
mielibyśmy dodatkowy czynnik \(\displaystyle{ 1-x}\) w mianowniku a co za tym idzie musielibyśmy przewidywać
wielomian o stopień wyższy

Oleszko12, jak tak się upierają na równanie charakterystyczne to pokazali wam chociaż co robić gdy są pierwiastki wielokrotne oraz analog uzmienniania stałych używany do znalezienia szczególnego rozwiązania równania niejednorodnego gdy znane jest ogólne rozwiązanie równania jednorodnego

[arek1357]

Nie wiem Mariuszm czemu tak lubisz funkcje tworzące?
Ale i tak niezrozumiałe jest dla mnie podejście niektórych wykładowców jak oni to widzą i czy wogóle czasem widzą cokolwiek.
Niektórzy wykładowcy podchodzą do tematu czasem tak jak pani od "fszystkiego" z klas najmłodszych
i nie dadzą sobie niczego powiedzieć!

[Oleszko12]

Nie pokazali nam co robić gdy są pierwiastki wielokrotne itd., ale w internecie można znaleźć sobie małe co nieco i przeanalizować bo literatura też nie była podana.