Czy dobrze rozwiązałem?

[szymonides]

Cześć,
Uczę się kombinatoryki i proszę Was o sprawdzenie, czy poprawnie rozwiązałem poniższe zadania. Z góry bardzo dziękuję!

1) Na ile sposobów z talii 52 kart można wybrać 10 kart tak, aby był wśród nich dokładnie jeden as?
W talii są 4 asy, więc wybieram sobie 1 z nich i dopełniam zbiór wyborem 9 kart z wolnych 51 kart:
\(\displaystyle{ 4 \cdot {51 \choose 9}}\)

2) Sadzamy n osób przy okrągłym stole. Dwa rozsadzenia uważamy za identyczne, jeśli w obu przypadkach każdy człowiek ma tych samych sąsiadów. Ile jest możliwych sposobów rozsadzenia?
Każde ustawienie n osób ze zbioru \(\displaystyle{ { o_{1}, o_{2}, ..., o_{n} }}\) przy okrągłym stole może być reprezentowane przez ciąg n elementowy, przy czym ciągi "przesunięte" uznajemy za takie same, bo przy okrągłym stole takie ustawienia (czyli kto obok kogo siedzi) będą wyglądały identycznie.
Więc wszystkich sposobów usadzenia n osób jest \(\displaystyle{ n!}\), przy czym musimy pozbyć się ustawień "przesuniętych", czyli \(\displaystyle{ n! - n}\) jest końcową odpowiedzą.

3) Na ile sposobów można posadzić przy okrągłym stole n kobiet i n mężczyzn tak, aby żadne dwie osoby tej samej płci nie siedziały obok siebie? Dwa rozsadzenia uważamy za identyczne, jeśli w obu przypadkach każdy człowiek ma tych samych sąsiadów.
Podobnie jak zadanie powyżej, przy czym mamy ustalić liczbę możliwości zpermutowania ciągu \(\displaystyle{ (k_{1}, m_{1}, k_{2}, m_{2}, ..., k_{n}, m_{n})}\). Możemy zapisać to jako dwa odmienne ciągi, które musimy przepleść: \(\displaystyle{ (k_{1}, k_{2}, ..., k_{n})}\) i \(\displaystyle{ (m_{1}, m_{2}, ..., m_{n})}\)
Możliwości ustawień każdego z dwóch ciągów jest \(\displaystyle{ n!}\), więc ustawień przeplecionych ciągów jest \(\displaystyle{ n! \cdot n!}\). Tak jak w zadaniu wcześniejszym, musimy pamiętać o ciągach "przesuniętych", więc finalna odpowiedź to \(\displaystyle{ n! \cdot n! - 2n}\).

4) Na ile sposobów spośród n małżeństw można wybrać jedną kobietę i jednego mężczyznę, którzy nie są małżeństwem?
Mamy 2 zbiory: kobiet i mężczyzn. Każdy z nich ma po n elementów. Najpierw wybieramy mężczyznę - możemy zrobić to na n sposobów. Teraz wybieramy kobietę, która nie jest jego żoną - czyli wybór zmniejszył się do \(\displaystyle{ n-1}\).
Odpowiedź brzmi: \(\displaystyle{ n(n-1)}\)

[Analizator]

1) W ten sposób możesz wybrać więcej niż 1 asa. Pozostałe 9 kart należy wybrać spośród tych, które nie są asami. Jest ich 48. Odpowiedzią jest zatem \(\displaystyle{ 4 \cdot {48 \choose 9}}\).
2) Wszystkich możliwych ciągów jest \(\displaystyle{ n!}\). Dla każdego posadzenia przy okrągłym stole istnieje \(\displaystyle{ n}\) ciągów reprezentujących to ustawienie ("przesuniętych"). Odpowiedzią jest więc \(\displaystyle{ \frac{n!}{n} = (n-1)!}\).
3) Podobny błąd jak w 2).
4) Poprawnie.

[dzolka]

Czy w drugim nie powinno być przypadkiem \(\displaystyle{ \frac{n!}{2n}= \frac{(n-1)!}{2}}\) ??? Bo np dla trzech osób przy stole jest jedno usadzenie:
Jesli osoby mają nr: 1,2,3 i chodzi o sasiadów takich samych(nieważne po której stronie danej osoby siedzą) to te 6 ustawien które wypisane na dole jest jednakowe.
Chyba, że rozróżniamy o to jaki sąsiad jest po prawej stronie a jaki po lewej to się zgadzam z odp \(\displaystyle{ (n-1)!}\)

\(\displaystyle{ \begin{matrix}
1 & &2\\
&3&
\end{matrix}\ |\ \ \ \ \begin{matrix}
1 & &3\\
&2&
\end{matrix}\ |\ \ \ \ \begin{matrix}
2 & &1\\
&3&
\end{matrix}\ |\ \ \ \ \begin{matrix}
3 & &1\\
&2&
\end{matrix}\ |\ \ \ \ \begin{matrix}
2& &3\\
&1&
\end{matrix}\ |\ \ \ \ \begin{matrix}
3 & &2\\
&1&
\end{matrix}}\)

[arek1357]

Wzór na permutacje koralikowe czyli ilość cykli n elementowych to:

\(\displaystyle{ (n-1)!}\)

[dzolka]

Wzór na permutacje koralikowe czyli ilość cykli n elementowych to:

\(\displaystyle{ (n-1)!}\)

Arek1357 i co w związku z tym, że mamy taki wzór ???? Moje rozumowanie jest złe? dobre?

[arek1357]

No to właśnie to jest do drugiego zadania