Cześć,
Mamy takie zadanie: mamy 4 nierozróżnialne kule i 5 rozróżnialnych szuflad. Przy czym do pierwszych 3 szuflad możemy włożyć maksymalnie po 1 kuli, a do 2 pozostałych maksymalnie po 2 kule.
Na ile sposobów możemy rozmieścić kule w szufladach.
Zrobiliśmy to zadanie w ten sposób, że 5 szuflad zamieniliśmy na 7 szuflad, z założeniem, że do każdej możemy włożyć maksymalnie po 1 kuli.
W takim wypadku musimy policzyć wszystkie permutacje ciągu (1,1,1,1,0,0,0), gdzie 1 oznacza szufladę z kulą, a 0 szufladę bez kuli.
Wg nas takich permutacji jest \(\displaystyle{ {n + k\choose k}}\), gdzie n to liczba szuflad z kulą, a k to liczba szuflad bez kuli, czyli:
\(\displaystyle{ {4 + 3\choose 3} = 35}\)
Jednak wg rozwiązania w książce powinno wyjść 18. Zastanawiamy się dlaczego.
Czy nasze rozwiązanie jest poprawne? Jeżeli, nie to gdzie jest błąd?
Z góry dzięki za odpowiedź!
Rozmieszczenie nierozróżn. kul w rozróżn. szufladach
-
szymonides
- Użytkownik
- Posty: 78
- Rejestracja: 24 lis 2009, o 17:22
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 4 razy
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5747
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 130 razy
- Pomógł: 526 razy
Rozmieszczenie nierozróżn. kul w rozróżn. szufladach
Zadanie jest proste trochę go komplikujesz.
Zamiana pięciu szuflad na siedem to przesada.
Rozumowanie jest błędne.
Weź najpierw trzy pierwsze szuflady i dwie ostatnie czyli:
\(\displaystyle{ (1,2,3)(4,5)}\)
Pierwszy przypadek, że do pierwszej grupy szuflad nie dasz ani jednej kuli , czyli cztery kule wsadzasz
do drugiej grupy szuflad z warunków zadania po dwie czyli jedna możliwość=\(\displaystyle{ 1}\)
Drugi przypadek, do pierwszej grupy szuflad dajesz jedną kulę na trzy sposoby a trzy pozostałe kule do
drugiej grupy szuflad na dwa sposoby możliwości razem: \(\displaystyle{ 3 \cdot 2=6}\)
Trzeci przypadek, do pierwszej grupy szuflad dajesz dwie kule na trzy sposoby a dwie pozostałe kule do
drugiej grupy szuflad na trzy sposoby możliwości razem: \(\displaystyle{ 3 \cdot 3=9}\)
Czwarty przypadek, do pierwszej grupy szuflad dajesz trzy kule na jeden sposób a czwartą kulę do
drugiej grupy szuflad na dwa sposoby możliwości razem: \(\displaystyle{ 1\cdot 2=2}\)
Innych przypadków brak.
Razem masz:
\(\displaystyle{ 1+6+9+2=18}\) - sposobów.
lub tak jeśli chcesz fachowo:
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=4}\)
\(\displaystyle{ 0 \le x_{1},x_{2},x_{3} \le 1; 0 \le x_{4},x_{5} \le 2}\)
i wielomian charakterystyczny
\(\displaystyle{ (1+x)^3(1+x+x^2)^2}\)
współczynnik przy \(\displaystyle{ x^4}\) - tego wielomianu to akurat rozwiązanie zadania czyli \(\displaystyle{ 18}\)
W tym zadaniu masz kombinacje z powtórzeniami a do tego z ograniczeniami!
Zamiana pięciu szuflad na siedem to przesada.
Rozumowanie jest błędne.
Weź najpierw trzy pierwsze szuflady i dwie ostatnie czyli:
\(\displaystyle{ (1,2,3)(4,5)}\)
Pierwszy przypadek, że do pierwszej grupy szuflad nie dasz ani jednej kuli , czyli cztery kule wsadzasz
do drugiej grupy szuflad z warunków zadania po dwie czyli jedna możliwość=\(\displaystyle{ 1}\)
Drugi przypadek, do pierwszej grupy szuflad dajesz jedną kulę na trzy sposoby a trzy pozostałe kule do
drugiej grupy szuflad na dwa sposoby możliwości razem: \(\displaystyle{ 3 \cdot 2=6}\)
Trzeci przypadek, do pierwszej grupy szuflad dajesz dwie kule na trzy sposoby a dwie pozostałe kule do
drugiej grupy szuflad na trzy sposoby możliwości razem: \(\displaystyle{ 3 \cdot 3=9}\)
Czwarty przypadek, do pierwszej grupy szuflad dajesz trzy kule na jeden sposób a czwartą kulę do
drugiej grupy szuflad na dwa sposoby możliwości razem: \(\displaystyle{ 1\cdot 2=2}\)
Innych przypadków brak.
Razem masz:
\(\displaystyle{ 1+6+9+2=18}\) - sposobów.
lub tak jeśli chcesz fachowo:
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=4}\)
\(\displaystyle{ 0 \le x_{1},x_{2},x_{3} \le 1; 0 \le x_{4},x_{5} \le 2}\)
i wielomian charakterystyczny
\(\displaystyle{ (1+x)^3(1+x+x^2)^2}\)
współczynnik przy \(\displaystyle{ x^4}\) - tego wielomianu to akurat rozwiązanie zadania czyli \(\displaystyle{ 18}\)
W tym zadaniu masz kombinacje z powtórzeniami a do tego z ograniczeniami!