ciąg rekurencyjny

[matematyka464]

Używając funkcji tworzących wyznacz \(\displaystyle{ u_n}\)
\(\displaystyle{ u_{n+2}
-6u_{n+1} + 9u_n = 2^n + n}\)
Proszę o pomoc.

[miodzio1988]

wskazowke masz wiec jaki jest problem?

[matematyka464]

świetnie. Dzięki.
A teraz zrobię to co zawsze. Poczekam na kogoś konkretnego

[miodzio1988]

spoko czekaj. Jak będziesz chciał sie nauczyć troszkę samodzielności to adres znasz, pukałeś już

[arek1357]

Zacznę:

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }u_{n+2}x^{n+2}-6 \sum_{n=0}^{ \infty }u_{n+1}x^{n+2}+9 \sum_{n=0}^{ \infty }u_{n}x^{n+2}= \sum_{n=0}^{ \infty }2^nx^{n+2}+ \sum_{n=0}^{ \infty} nx^{n+2}}\)

lub:

\(\displaystyle{ (\sum_{n=0}^{ \infty }u_{n}x^{n}-u_{0}-u_{1}x)-6x( \sum_{n=0}^{ \infty }u_{n}x^{n}-u_{0})+9x^2 \sum_{n=0}^{ \infty }u_{n}x^n= x^2\sum_{n=0}^{ \infty }2^nx^n+ x^2\sum_{n=0}^{ \infty} nx^n}\)

teraz niech:

\(\displaystyle{ C=\sum_{n=0}^{ \infty }u_{n}x^n}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }2^nx^n= \frac{1}{1-2x}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }nx^n= x \sum_{n=0}^{ \infty }(x^n)'=x (\sum_{n=0}^{ \infty }x^n)'=x( \frac{1}{1-x} )'= \frac{x}{(1-x)^2}}\)

Ostatecznie:

\(\displaystyle{ (C-u_{0}-u_{1}x)-6x(C-u_{0})+9x^2C=\frac{x^2}{1-2x}+\frac{x^3}{(1-x)^2}}\)

\(\displaystyle{ C(9x^2-6x+1)=u_{0}+u_{1}x-6xu_{0}+\frac{x^2}{1-2x}+\frac{x^3}{(1-x)^2}}\)

\(\displaystyle{ C(3x-1)^2=u_{0}+u_{1}x-6xu_{0}+\frac{x^2}{1-2x}+\frac{x^3}{(1-x)^2}}\)

\(\displaystyle{ C= u_{0}\frac{1}{(3x-1)^2}+u_{1} \frac{x}{(3x-1)^2} -6u_{0} \frac{x}{(3x-1)^2}+\frac{x^2}{(1-2x)(3x-1)^2}+\frac{x^3}{(1-x)^2(3x-1)^2}}\)


Dalej rozwinąć funkcje w szereg.

Mam nadzieję że się nie pomyliłem.

Brakuje warunków początkowych.

[matematyka464]

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }u_{n+2}x^{n+2}-6 \sum_{n=0}^{ \infty }u_{n+1}x^{n+2}+9 \sum_{n=0}^{ \infty }u_{n}x^{n+2}= \sum_{n=0}^{ \infty }2^nx^{n+2}+ \sum_{n=0}^{ \infty} nx^{n+2}}\)

Czy możesz wyjaśnić, skąd bierzesz te indeksiki?
Ja napisałem lewą stronę tak:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty u_{n+2}x^n -6 \sum_{n=0}^\infty u_{n+1}x^n + 9\sum_{n=0}^\infty u_{n}x^n}\)

[arek1357]

Wiesz można i tak według mnie to nie ma znaczenia potem wyrównuje się to w dalszych rachunkach i wychodzi na jedno!
Uważam , że Twój sposób też jest ok tylko potem będziesz musiał iść konsekwentnie według tych wskaźników , które sam wziąłeś.


Choć jak na to patrzę to chyba według moich wskaźników łatwiej albo szybciej można liczyć.
Ja patrzyłem, żeby wskaźnik przy \(\displaystyle{ x}\) był większy lub równy jak indeks przy współczynniku
a Ty brałeś na odwrót.

[matematyka464]

dzieki