Wydzielony post: wyznaczyć sumę z dwumianem Newtona.

[krymeer]

Mam wyznaczyć następującą sumę, korzystając właśnie z wzoru dwumianowego Newtona:

\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n} i \cdot {n \choose i}}\)

Wolfram|Alpha podpowiada mi, że wynik to
\(\displaystyle{ 2^{n-1} \cdot n}\)
ale nie umiem dojść do tego, jak zapisać tę liczbę jako \(\displaystyle{ (x+y)^{n}}\) (bo o to właśnie w tym zadaniu chodzi)...

[Adifek]

Zauważ, że

\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n} i \cdot {n \choose i}x^{i-1} = \left( \sum_{i=0}^{n} {n \choose i}x^i\right)'}\)

[krymeer]

Wydaje mi się, że rozumiem tę równość, czy jednak nie ma jakiegoś prostszego rozumowania? Zadanie jest z logiki i struktur formalnych. Jako wskazówkę do podpunktu podano:

„Skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ {n \choose i} = {n \choose n-i}}\) ”.

[Qń]

Jest dzikie mnóstwo sposobów by dowieść żądanej równości.

Jeśli chcesz użyć podanej wskazówki, to można tak - niech:
\(\displaystyle{ S= \sum_{i=0}^{n} i \cdot \binom ni}\)

Z uwagi na to, że jeśli \(\displaystyle{ i}\) zmienia się od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ n}\) to także \(\displaystyle{ n-i}\) zmienia się od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ n}\) mamy:
\(\displaystyle{ S= \sum_{i=0}^{n} (n-i)\cdot \binom{n}{n-i}=\sum_{i=0}^{n} (n-i)\cdot \binom{n}{i}}\)

Dodanie stronami dwóch powyższych równości daje:
\(\displaystyle{ 2S= \sum_{i=0}^{n} n\cdot \binom{n}{i} = n\sum_{i=0}^{n} \cdot \binom{n}{i}=n2^n}\)
skąd natychmiast wynika żądana równość.

Q.

[krymeer]

I to już mnie bardzo przekonuje. Dziękuję za pomoc!