Mam wyznaczyć następującą sumę, korzystając właśnie z wzoru dwumianowego Newtona:
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n} i \cdot {n \choose i}}\)
Wolfram|Alpha podpowiada mi, że wynik to
\(\displaystyle{ 2^{n-1} \cdot n}\)
ale nie umiem dojść do tego, jak zapisać tę liczbę jako \(\displaystyle{ (x+y)^{n}}\) (bo o to właśnie w tym zadaniu chodzi)...
Wydzielony post: wyznaczyć sumę z dwumianem Newtona.
-
- Użytkownik
- Posty: 1567
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 398 razy
Wydzielony post: wyznaczyć sumę z dwumianem Newtona.
Zauważ, że
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n} i \cdot {n \choose i}x^{i-1} = \left( \sum_{i=0}^{n} {n \choose i}x^i\right)'}\)
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n} i \cdot {n \choose i}x^{i-1} = \left( \sum_{i=0}^{n} {n \choose i}x^i\right)'}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 37
- Rejestracja: 21 gru 2014, o 11:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 12 razy
Wydzielony post: wyznaczyć sumę z dwumianem Newtona.
Wydaje mi się, że rozumiem tę równość, czy jednak nie ma jakiegoś prostszego rozumowania? Zadanie jest z logiki i struktur formalnych. Jako wskazówkę do podpunktu podano:
„Skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ {n \choose i} = {n \choose n-i}}\) ”.
„Skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ {n \choose i} = {n \choose n-i}}\) ”.
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Wydzielony post: wyznaczyć sumę z dwumianem Newtona.
Jest dzikie mnóstwo sposobów by dowieść żądanej równości.
Jeśli chcesz użyć podanej wskazówki, to można tak - niech:
\(\displaystyle{ S= \sum_{i=0}^{n} i \cdot \binom ni}\)
Z uwagi na to, że jeśli \(\displaystyle{ i}\) zmienia się od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ n}\) to także \(\displaystyle{ n-i}\) zmienia się od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ n}\) mamy:
\(\displaystyle{ S= \sum_{i=0}^{n} (n-i)\cdot \binom{n}{n-i}=\sum_{i=0}^{n} (n-i)\cdot \binom{n}{i}}\)
Dodanie stronami dwóch powyższych równości daje:
\(\displaystyle{ 2S= \sum_{i=0}^{n} n\cdot \binom{n}{i} = n\sum_{i=0}^{n} \cdot \binom{n}{i}=n2^n}\)
skąd natychmiast wynika żądana równość.
Q.
Jeśli chcesz użyć podanej wskazówki, to można tak - niech:
\(\displaystyle{ S= \sum_{i=0}^{n} i \cdot \binom ni}\)
Z uwagi na to, że jeśli \(\displaystyle{ i}\) zmienia się od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ n}\) to także \(\displaystyle{ n-i}\) zmienia się od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ n}\) mamy:
\(\displaystyle{ S= \sum_{i=0}^{n} (n-i)\cdot \binom{n}{n-i}=\sum_{i=0}^{n} (n-i)\cdot \binom{n}{i}}\)
Dodanie stronami dwóch powyższych równości daje:
\(\displaystyle{ 2S= \sum_{i=0}^{n} n\cdot \binom{n}{i} = n\sum_{i=0}^{n} \cdot \binom{n}{i}=n2^n}\)
skąd natychmiast wynika żądana równość.
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 37
- Rejestracja: 21 gru 2014, o 11:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 12 razy
Wydzielony post: wyznaczyć sumę z dwumianem Newtona.
I to już mnie bardzo przekonuje. Dziękuję za pomoc!