Udowodnić równość

[El_Konrad]

Witam.

Tak jak w temacie. Muszę udowodnić następującą nierówność za pomocą indukcji matematycznej.

\(\displaystyle{ \left\{ \begin{matrix} n \\ n-2 \end{matrix}\right\} = { n+1 \choose 4}+ 2 \cdot { n \choose 4} \\ \\ n \ge 4 \wedge n \in \NN}\)

Pierwszy krok indukcyjny pominę, ponieważ sprawdziłem i zachodzi.

Druki krok indukcyjny:

\(\displaystyle{ Z: \left\{ \begin{matrix} n \\ n-2 \end{matrix}\right\} = { n+1 \choose 4}+ 2 \cdot { n \choose 4}}\)

\(\displaystyle{ T: \left\{ \begin{matrix} n+1 \\ n-1 \end{matrix}\right\} = { n+2 \choose 4}+ 2 \cdot { n+1 \choose 4}}\)

Dowód tezy:
\(\displaystyle{ L_{T}= \left\{ \begin{matrix} n+1 \\ n-1 \end{matrix}\right\} = \left\{ \begin{matrix} n \\ n-2 \end{matrix}\right\} + (n-1) \cdot \left\{ \begin{matrix} n \\ n-1 \end{matrix}\right\} = { n+1 \choose 4} + 2 \cdot { n \choose 4} + (n-1) \cdot { n \choose 2}}\)

Nie potrafię dojść do prawej strony tezy. Jakaś wskazówka co dalej?

[Qń]

Mamy:
\(\displaystyle{ \binom{n+1}{4}+ 2\binom n4 + (n-1)\binom n2 = \binom{n+1}{4}+ 2\binom n4 + \binom n2 + (n-2)\binom n2 = \\ =
\binom{n+1}{4}+ 2\binom n4 + \binom n2 + 3\binom n3= \binom{n+1}{4} +2 \left( \binom n4 + \binom n3 \right) +\left( \binom n2 + \binom n3 \right) = \\ =
\binom{n+1}{4}+ 2 \binom{n+1}{4} +\binom{n+1}{3} = \binom{n+2}{4} + 2 \binom{n+1}{4}}\)

A łatwiej byłoby na początku przekształcić tezę naszego twierdzenia (które nawiasem mówiąc łatwo wykazać kombinatorycznie):
\(\displaystyle{ \binom{n+1}{4}+ 2\binom n4 = \binom n4 + \binom n3 + 2\binom n4 = \binom n3 + 3\binom n4}\)
i dopiero w tej wersji dowodzić indukcyjnie.

Q.