Kiedy używamy symbolu Newtona, a kiedy wariacji?

[Grzyboo]

Witam, mam takie pytanie jakie widnieje w tytule. Kiedy używamy danego wzoru? Czym one się różnią? Wiem jak to się oblicza itd. Ale zupełnie nie mam pojęcia jak tego używać w zadaniach, a nie jestem w stanie znaleźć tego wytłumaczonego w jakiś przyzwoity sposób.

[piasek101]

Symbol - kombinacje - kolejność wziętych elementów jest bez znaczenia (zbiory, podzbiory).

Wariacje - kolejność wziętych ma znaczenie (ciągi).

[jutrvy]

No więc dobrze. Symbol Newtona \(\displaystyle{ {n \choose k}}\) mówi nam na ile sposobów możemy wybrać \(\displaystyle{ k}\) elementów ze zbioru \(\displaystyle{ n}\) elementowego, czyli na ile sposobów możemy podzielić zbiór na dwie części. W tym przypadku nie patrzymy się na kolejność wybierania, po prostu bierzemy wszystkie elementy na raz, np. ile jest możliwości wyboru pięciu kolorów z siedmiu? Odpowiedź brzmi \(\displaystyle{ {7 \choose 5}}\), prawda? Wybieramy pięć kolorów, tzn bierzemy je na raz - nie po kolei.

W przypadku wzoru \(\displaystyle{ n(n-1)\ldots (n-k+1)}\) wybieramy po kolei, to znaczy rozróżniamy kolejność wybierania elementów, np mamy \(\displaystyle{ 7}\) biegaczy. Na ile sposobów po biegu mogą zostać obsadzone miejsca na podium? \(\displaystyle{ 7\cdot 6\cdot 5}\), na \(\displaystyle{ 7}\) sposobów wybieramy zwycięzcę, na \(\displaystyle{ 6}\) drugiego, na \(\displaystyle{ 5}\) trzeciego. Tutaj kolejność ma znaczenie.

Skąd się wziął wzór Newtona?

\(\displaystyle{ {n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n(n-1)(n-2)\ldots (n-k+1)}{k!}}\) czyli de facto liczymy tak jak w przypadku naszego wyścigu, ale dzielimy jeszcze przez \(\displaystyle{ k!}\), bo każdą kombinację zliczamy \(\displaystyle{ k!}\) razy, np \(\displaystyle{ 1, 2, 3}\) będzie tym samym, co \(\displaystyle{ 3, 1, 2}\), a my nie chcemy rozróżniać takich przestawień.

Może być?

[Gouranga]

Na ile sposobów można wybrać 3 osoby z 6-osobowej grupy? - \(\displaystyle{ {6 \choose 3}}\)

Na ile sposobów można z 6-osobowej grupy ustawić 3 osoby w jednym rzędzie? - \(\displaystyle{ 6\cdot 5 \cdot 4}\)

[Grzyboo]

Dzięki bardzo, Wasze wypowiedzi już mi trochę rozjaśniły