\(\displaystyle{ a) \sum_{k=1}^{n} k {n \choose k} = n2 ^{n-1}\\
b) \sum_{k=1}^{n} k(k-1) {n \choose k} = n(n-1)2 ^{n-2}}\)
Udowodnić tożsamości
-
szw1710
Udowodnić tożsamości
Pachnie tu różniczkowaniem. Mamy \(\displaystyle{ (x+1)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k}\). Różniczkując mamy \(\displaystyle{ n(x+1)^{n-1}=\sum_{k=1}^n k\binom{n}{k}x^{k-1}}\). Podstaw tu \(\displaystyle{ x=1}\). Zadanie b) zrób podobnie. Widać tu drugą pochodną.
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Udowodnić tożsamości
Można też bez analizy.
Kombinatorycznie: pierwszą tożsamość można zinterpretować jako policzoną na dwa sposoby liczbę sposobów na ile spośród \(\displaystyle{ n}\) żyraf można wybrać te które zapiszemy do szkoły baletowej, a wśród nich jednej damy stypendium ministra kultury. W drugiej tożsamości tak samo, tylko oprócz stypendium dla jednej jest jeszcze talon na traktor dla drugiej.
Algebraicznie: wystarczy skorzystać ze wzoru \(\displaystyle{ k\binom nk = n \binom{n-1}{k-1}}\) oraz z dwumianu Newtona.
Q.
Kombinatorycznie: pierwszą tożsamość można zinterpretować jako policzoną na dwa sposoby liczbę sposobów na ile spośród \(\displaystyle{ n}\) żyraf można wybrać te które zapiszemy do szkoły baletowej, a wśród nich jednej damy stypendium ministra kultury. W drugiej tożsamości tak samo, tylko oprócz stypendium dla jednej jest jeszcze talon na traktor dla drugiej.
Algebraicznie: wystarczy skorzystać ze wzoru \(\displaystyle{ k\binom nk = n \binom{n-1}{k-1}}\) oraz z dwumianu Newtona.
Q.
-
szw1710
Udowodnić tożsamości
Coś trzeba wiedzieć. W Kompendium napisałem parę słów o operatorze różnicowym. Nie odnosi się to bezpośrednio do badanej sumy, ale może się komuś przyda.