Prosiłbym o pomoc w rozwiazaniu kilku zadanek z kombinatoryki, cześć sam rozwiązałem, ale nie wiem czy poprawnie.
Pewna grupa studencka sklada sie z 12 mężczyzn i 16 kobiet. Ile da się z nich utworzyć komisji, składających się
a) 7 osób
b) 3 mężczyzn i 4 kobiet
c) 7 mężczyzn lub 7 kobiet
odp: wydaje mi się, że będą to kombinacje bez powtórzeń, czyli:
a)\(\displaystyle{ {28\choose 7} = 1184040}\)
b)\(\displaystyle{ {12\choose 3} {16\choose 4} = 1820}\)
c)\(\displaystyle{ {12\choose 7} + {16\choose 7} = 7520}\)
/********************************************************************************/
Ile można utworzyć komisji
a) składającyh się z 4 osób wybrancyh z 9 osobowej grupy
b) odpowiedz ponownie na pytanie z czesci (a) przy dodatkowym założeniu, że są 2 osoby, Anna i Robert, które nie chcą być w tej samej komisji
odp: tutaj też będą chyba kombinacje bez powtórzeń, czyli:
a)\(\displaystyle{ {9\choose 4} = 126}\)
b)\(\displaystyle{ ???}\)
/********************************************************************************/
Ile można utworzuc komisji składających się z 4 meżczyzn i 4 kobiet wybranych z grupy, w ktrórej jest 8 kobiet i 6 mężczyzn.
odp: ponownie kombinacje bez powtórzeń, wieć:
a)\(\displaystyle{ {8\choose 4} {6\choose 4} = 1050}\)
/********************************************************************************/
NIech P={1,2,3,4,5,6,7,8,9} i Q={A,B,C,D,E}
a) ile jest czteroelementowych podzbiorów zbioru P
b) ile jst permutacji zbioru Q
c) ile jest numerów rejestracyjnych składających się z 3 liter ze zbioru Q i następujących po nich dwóch cyfr ze zbioru P. Powtórzenia są dozwolne, np. DAD88 jest dopuszczalnym numerem,
odp:
a) \(\displaystyle{ {9\choose 4} = 126}\)
b) \(\displaystyle{ 5! = 120}\)
c) \(\displaystyle{ ???}\)
/********************************************************************************/
Niech \(\displaystyle{ \sum}\) będzie alfabetem {a,b,c,d,e} i \(\displaystyle{ (\sum)^k={w (\sum)^*:dlugosc(w)=k }}\)
Ile elementów mają następujące zbiory:
a) dla każdego \(\displaystyle{ k N}\)
b) \(\displaystyle{ {w (\sum)^3:}\) żadna litera nie występuje w (w) wiecej niż raz
c) \(\displaystyle{ {w (\sum)^4:}\)litera c występuje w (w) dokładnie raz
d) \(\displaystyle{ {w (\sum)^4:}\)litera c występuje w (w) co najmniej raz
odp:
a) wariacje z powtórzeniami, czyli \(\displaystyle{ W^k_n = n^k = 5^k}\)
b) wariacje bez powtórzeń, czyli \(\displaystyle{ V^k_n = \frac{n!}{(n-k)!}=\frac{5!}{(5-3)!} = 60}\)
c)\(\displaystyle{ ???}\)
d)\(\displaystyle{ ???}\)
Znajdź liczbę układów kart w pokerze następujących rodzajów:
a) czwórka
b) kolor
c) trójka
b) para
odp:
a) (13 rodzajów kart tej samej wagi) x (kombinacje czteroelementowe bez powt. z 4 kart) x (kobmbinacje jednoelem. bez powt. z pozostalych 48 kart)
czyli:
\(\displaystyle{ 13 {4\choose 4} {48\choose 1}}\)
b)\(\displaystyle{ ???}\)
c)\(\displaystyle{ ???}\)
d)\(\displaystyle{ ???}\)
/********************************************************************************/
a)Na ile sposobów można ustawić a, b, c, d, e, f w takiej kolejności by litery a i b sąsiadowały ze sobą?
b)Na ile sposobów można ustawić a, b, c, d, e, f w takiej kolejności by litery a i b nie sąsiadowały ze sobą?
c)Na ile sposobów można ustawić a, b, c, d, e, f w takiej kolejności by litery a i b sąsiadowały ze sobą, a litery a i c nie?
odp:
a)\(\displaystyle{ ???}\)
b)\(\displaystyle{ ???}\)
c)\(\displaystyle{ ???}\)
Podzbiory, ustawiania, układy kart.
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Podzbiory, ustawiania, układy kart.
O ile dobrze to wymnożyłeś, to udzielone odpowiedzi są dobre.
Pozostałe przykłady:
2.b) zliczamy komisje w których jest Anna, komisje w których jest Robert, i komisje w których nie ma żadnej z tych osób:
\(\displaystyle{ {7\choose 3}+ {7\choose 3} + {7\choose 4}}\)
itd
4. c) mamy wariacje z powtórzeniami:
\(\displaystyle{ 5^{3}\cdot 9^{2} = 10125}\)
5. c) bierzemy 3-elementową wariację z powtórzeniami zbioru \(\displaystyle{ \Sigma \setminus \{c\}}\) i ustawiamy na jednej z 4 pozycji (przed pierwszym elementem, przed drugim, przed trzecim lub za trzecim) literę c:
\(\displaystyle{ 4^{3}\cdot 4 = 4^{4} = 256}\)
d) od liczby wszystkich wariacji 4-elementowych odejmujemy liczbę takich wariacji, w których nie występuje litera c:
\(\displaystyle{ 5^{4} - 4^{4} = 369}\)
6.b) kolorów mamy cztery, w każdym 13 kart:
\(\displaystyle{ 4\cdot {13\choose 5}}\)
c) analogicznie jak w a) zliczamy ilość możliwych trójek i mnożymy razy ilość możliwych wyborów pozostałych dwóch kart (można je dobrać w sposób dowolny):
\(\displaystyle{ 13\cdot {4\choose 3}\cdot {49\choose 2}}\)
d) rozumując jak powyżej otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 13\cdot {4\choose 2}\cdot {50\choose 3}}\)
[ Dodano: 1 Czerwica 2007, 15:18 ]
7. a)pozostałe litery możemy ustawić na \(\displaystyle{ 4!}\) sposobów, litery a, b możemy ustawić w ciąg na 2 sposoby, a umieścić ten ciąg w ciągu złożonym z pozostałych liter możemy na 5 sposobów (przed pierwszym wyrazem, ..., przed czwartym, za czwartym). Otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 4!\cdot 2 5 = 240}\)
b) od liczby wszystkich permutacji odejmujemy permutacje z podpunktu a):
\(\displaystyle{ 6! - 240 = 480}\)
c) od wyniku otrzymanego w a) odejmujemy liczbę permutacji spełniających warunki a) i w których obok litery \(\displaystyle{ a}\) znajduje się litera \(\displaystyle{ c}\) (czyli rozumując podobnie jak w a) pozostałe litery ustawiamy nie na \(\displaystyle{ 4!}\) lecz na \(\displaystyle{ 3!}\) sposobów, ciąg złożony z liter a, b, c ustawiamy na 2 sposoby (c może znależć się na jednym miejscu, bo jedno miejsce obok a jest zajęte przez b), i możemy go wstawić między pozostałe 3 litery na 4 sposoby):
\(\displaystyle{ 240 - 3!\cdot 2\cdot 4 = 192}\)
Pozostałe przykłady:
2.b) zliczamy komisje w których jest Anna, komisje w których jest Robert, i komisje w których nie ma żadnej z tych osób:
\(\displaystyle{ {7\choose 3}+ {7\choose 3} + {7\choose 4}}\)
itd
4. c) mamy wariacje z powtórzeniami:
\(\displaystyle{ 5^{3}\cdot 9^{2} = 10125}\)
5. c) bierzemy 3-elementową wariację z powtórzeniami zbioru \(\displaystyle{ \Sigma \setminus \{c\}}\) i ustawiamy na jednej z 4 pozycji (przed pierwszym elementem, przed drugim, przed trzecim lub za trzecim) literę c:
\(\displaystyle{ 4^{3}\cdot 4 = 4^{4} = 256}\)
d) od liczby wszystkich wariacji 4-elementowych odejmujemy liczbę takich wariacji, w których nie występuje litera c:
\(\displaystyle{ 5^{4} - 4^{4} = 369}\)
6.b) kolorów mamy cztery, w każdym 13 kart:
\(\displaystyle{ 4\cdot {13\choose 5}}\)
c) analogicznie jak w a) zliczamy ilość możliwych trójek i mnożymy razy ilość możliwych wyborów pozostałych dwóch kart (można je dobrać w sposób dowolny):
\(\displaystyle{ 13\cdot {4\choose 3}\cdot {49\choose 2}}\)
d) rozumując jak powyżej otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 13\cdot {4\choose 2}\cdot {50\choose 3}}\)
[ Dodano: 1 Czerwica 2007, 15:18 ]
7. a)pozostałe litery możemy ustawić na \(\displaystyle{ 4!}\) sposobów, litery a, b możemy ustawić w ciąg na 2 sposoby, a umieścić ten ciąg w ciągu złożonym z pozostałych liter możemy na 5 sposobów (przed pierwszym wyrazem, ..., przed czwartym, za czwartym). Otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 4!\cdot 2 5 = 240}\)
b) od liczby wszystkich permutacji odejmujemy permutacje z podpunktu a):
\(\displaystyle{ 6! - 240 = 480}\)
c) od wyniku otrzymanego w a) odejmujemy liczbę permutacji spełniających warunki a) i w których obok litery \(\displaystyle{ a}\) znajduje się litera \(\displaystyle{ c}\) (czyli rozumując podobnie jak w a) pozostałe litery ustawiamy nie na \(\displaystyle{ 4!}\) lecz na \(\displaystyle{ 3!}\) sposobów, ciąg złożony z liter a, b, c ustawiamy na 2 sposoby (c może znależć się na jednym miejscu, bo jedno miejsce obok a jest zajęte przez b), i możemy go wstawić między pozostałe 3 litery na 4 sposoby):
\(\displaystyle{ 240 - 3!\cdot 2\cdot 4 = 192}\)